[過去ﾛｸﾞ] 1=0.999… その10.999… (1001ﾚｽ)
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489(4): 2006/01/09(月) 13:23:15 AAS
>>484
二行目は全く同意。実数の定義の妥当性を認めない人にとっては
>>483にあるような「証明」は無意味。
それ故に実数の定義の妥当性を認めない人を考慮する時
「メリット論」に行き着く。
実数の定義(として完備アルキメデス順序体)を認めるべきというのは非論理的な信念だな。
この非論理的な信念には俺も同意する(>>81>>335)。
「証明ってのは、定義あってのもの」にも同意する。
ただ単語「実数体」の定義として完備アルキメデス順序体を取らなければ
証明が行えないという事は無い。
例えば>>121の定義を採用する事により
命題「1≠0.999…」の数学的に厳密な証明が可能。
>>485
完備アルキメデス順序体に「実数体」という名前を付け、
整数aと0から9までの自然数a_1, a_2, ... に対して
この完備アルキメデス順序体の元a+Σa_i/10^nに「a . a_1 a_2 …」という名前を付けるのが
>>485曰くの前者「1=0.999…と定義した数学」。
後者の例としては、超準実数体に「実数体」という名前を付け、
この超準実数体の元[a, a, ... ]+[a_1/10, a_1/10+a_2/10^2, ... ]に
「a . a_1 a_2 …」という名前を付けるものが挙げられる。
他にも(適当な集合論内の)ペアノ公理系による自然数全体に「実数体」という名前を付け、
0に「a . a_1 a_2 …」という名前を付けても良い。
この時「0=a . a_1 a_2 …=0.999…≠1」は証明可能。
単語「実数体」や単語「a . a_1 a_2 …」にどのような概念を対応させるかは論理的には自由。
上の前者を選ぶか後者を選ぶかは
信念・メリット・お約束・多数決などの非論理的な事情により決定される。
これが「メリット論」。その本質は>>470の通り。
490(1): 2006/01/09(月) 13:25:12 AAS
>>489
それ、ちょっと証明してみて。
491: 2006/01/09(月) 13:27:42 AAS
>>489
あと、完備アルキメデス順序体に0.999…≠1と定義することは可能？
メリット論によると、多数決などの非論理的な事情があれば可能と
なるんだろうけど、489自身もそう思う？
506(3): 2006/01/09(月) 14:36:02 AAS
>>503
前スレから一貫して同じ事を主張し続けている。
即ち、概念に対する名前の付け方は、事前の了解の下では論理的には自由であり、
非論理的な事情により決定される。
例えば>>489の3段落目の3つの例はどれも論理的に問題は無い。
どの例においてもそこにおいて(そこにおいてのみ)正しい命題が
そこにおいて(そこにおいてのみ)正しい推論により証明される。
1つ目の例では「1=0.999…」、2つ目と3つ目の例では「1≠0.999…」がそれぞれ証明される。
ただし非論理的な理由により2つ目と3つ目の例での定義が採用される事はあまり無い。
故に非論理的な事情により通常は「1=0.999…」となる。
> 証明できれば、メリットなんて考えなくても真だろ。
証明の『前に』定義が必要。
その定義の選び方に関する態度が「メリット論」。
誤解しないで頂きたい。
517(2): 2006/01/09(月) 15:51:29 AAS
>>514
ああ、>>512では「1の小数展開の定義」では無く「1の定義」を聞いたのか。
「1」は体において唯一つ存在する単位元として定義されている。
この定義はアルキメデス順序体の概念の中に含まれている。
>>515
それをデメリットと感じる人は多いだろう。
故に「メリット論」から>>511の定義は普通採用されない。
恐らく最もメリットのある「小数」の定義は>>489の3段落目の1つ目の例だろう。
>>516
「本来の」? >>489の3段落目の1つ目の例における「0.999…」の事か?
それならば、>>489の3段落目の1つ目の例と>>511では異なる定義を採用しているため、
その質問は無意味だな。
ある定義の下に成り立つ命題と他の定義の下に成り立つ命題は比較しようがない。
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