ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ11

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899: 01/01(水)09:09 ID:2b7XvZNh(1/16) AAS
新年おめでとうございます
さて
『なぜ、ZFC公理まで遡らなくても数学が出来るの？』スレより
itest.5ch.net/rio2016/test/read.cgi/math/1731415731/771
2024/12/21
おサルさん
笑えるよ
>>684-686 >>689
(引用開始)
正則性公理は ”∈-induction”と関係していて
ZFC内の全ての集合について”∈-”による整礎関係を与え、
∈に関する整礎帰納法である”∈-induction”の適用を可能とする
全順序とか余計な一言を書いたせいで大恥かいたな　高卒童貞

正則性公理は∈を整礎関係たらしめると同時に反射律 a∈a を否定するため順序関係たらしめない。
また正則性公理と関係無く推移律 a∈b ∧ b∈c ⇒ a∈c は成立しない。実際 {}∈{{}} ∧ {{}}∈{{{}}} は真だが、{}∈{{{}}} は偽。
>正則性公理は ”∈-induction”と関係していて
>ZFC内の全ての集合について”∈-”による整礎な全順序関係を与え
は大間違い
>また…推移律 a∈b ∧ b∈c ⇒ a∈c は成立しない。
　ヌォォォォ
　すまん・・・OTL
　工学部卒の自己愛童貞と違うので土下座で謝罪
(引用終り)
オレは、ここの次スレを立てることはしないが
自分の立てたスレが、数学板に3つある
おサルさんの学力顕彰のために、3つスレで次回のスレ立ての
テンプレに入れるよ。そして、眺めてニヤリと笑うことにしよう
『正則性公理は∈を整礎関係たらしめると同時に反射律 a∈a を否定するため順序関係たらしめない』
か。妄言である！数学科オチコボレさんだってねｗガッハハｗｗ
(引用終り)

・”おサルさん”については、>>9-10ご参照
省1

900(4): 01/01(水)09:09 ID:2b7XvZNh(2/16) AAS
つづき

・整列集合 ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E5%88%97%E9%9B%86%E5%90%88
　『（選択公理に同値な）整列可能定理は、任意の集合が整列順序付け可能であることを主張するものである。整列可能定理はまたツォルンの補題とも同値である』
　『実数からなる集合
正の実数全体の成す集合 R+ に通常の大小関係 ≤ を考えたものは整列順序ではない。例えば開区間 (0, 1) は最小元を持たない。一方、選択公理を含む集合論の ZFC 公理系からは、実数全体の成す集合 R 上の整列順序が存在することが示せる。しかし、ZFC や、一般連続体仮説を加えた体系 ZFC+GCH においては、R 上の整列順序を定義する論理式は存在しない[1]。ただし、R 上の定義可能な整列順序の存在は ZFC と(相対的に)無矛盾である。例えば V=L は ZFC と(相対的に)無矛盾であり、ZFC+V=L ではある特定の論理式が R（実際には任意の集合）を整列順序付けることが従う。』
・自然数 ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0
　『形式的な定義自然数の公理
　以上の構成(注ノイマン構成)は、自然数を表すのに有用で便利そうな定義を選んだひとつの結果であり、他にも自然数の定義は無限にできる。これはペアノの公理を満たす後者関数 suc(a) と最小値の定義が無限に選べるからである。
　例えば、0 := {}, suc(a) := {a} と定義したならば、
　0 := {}
　1 := {0} = {{}}
　2 := {1} = {{{}}}
　3 := {2} = {{{{}}}}
　と非常に単純な自然数になる』
・0＜1＜2＜3＜・・・
　{}＜{{}}＜{{{}}}＜{{{{}}}}＜・・・
　ここで
　{}∈{{}}∈{{{}}}∈{{{{}}}}∈・・・
　と書ける
　何が言いたいか？
　{}∈{{}}∈{{{}}}∈{{{{}}}}∈・・・を逆に辿れば
　{}＜{{}}＜{{{}}}＜{{{{}}}}＜・・・となり
　0＜1＜2＜3＜・・・となる
・つまり、{}∈{{}}∈{{{}}}∈{{{{}}}}∈・・・において
　∈を＜に書き換える
　そうして、{}→0、{{}}→1、{{{}}}→2、{{{{}}}}→3、・・・
　と順序数の背番号がついていると思え
　あるいは、例えば {{{}}}→2 ならば、括弧{}の多重度を基準に整列していると考えれば良い（括弧{}の多重度-1が、順序数に相当している）
・このように、列 {}∈{{}}∈{{{}}}∈{{{{}}}}∈・・・を、順序関係＜に置き換えて
　{}＜{{}}＜{{{}}}＜{{{{}}}}＜・・・として、整列集合と考えることができる（整列可能定理の主張はこれ）
・おサルさん、なにをとち狂ったか、列 {}∈{{}}∈{{{}}}∈{{{{}}}}∈・・・が、整列していることを否定する
省3

901: 01/01(水)10:07 ID:2b7XvZNh(3/16) AAS
次スレ立てた
ここを使い切ったら次スレへ

2chｽﾚ:math
ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12

911(3): 01/01(水)12:29 ID:2b7XvZNh(4/16) AAS
>>904-910
ID:SnhQCod3 は、御大か
巡回ご苦労さまです

ID:mZ2ntjQvは、
おサル(>>9-10)さんか？ｗ；ｐ）

さて
>>{}∈{{}}∈{{{}}}∈{{{{}}}}∈・・・が、整列している
>が整列順序による整列を意味してるなら間違いに決まってんじゃん

ここで、まず下記のWell-ordering theorem（整列定理、第一階述語論理では整列定理は選択公理と等価）
を百回音読してね

その上で、人は ”{}∈{{}}∈{{{}}}∈{{{{}}}}∈・・・”という可算無限の整列の1列を作ることができる
そして、ここで整列定理の力を借りると
”{}＜{{}}＜{{{}}}＜{{{{}}}}∈・・・”
と読み替えることが可能なんだよ
省19

912: 01/01(水)12:31 ID:2b7XvZNh(5/16) AAS
>>911 タイポ訂正

”{}＜{{}}＜{{{}}}＜{{{{}}}}∈・・・”
　↓
”{}＜{{}}＜{{{}}}＜{{{{}}}}＜・・・”

919(4): 01/01(水)14:00 ID:2b7XvZNh(6/16) AAS
>>913-916
ふっふ、ほっほ
やはり、おサルだったかｗ；ｐ）

さて
(引用開始)
>その上で、人は ”{}∈{{}}∈{{{}}}∈{{{{}}}}∈・・・”という可算無限の整列の1列を作ることができる
あなたの言う「整列」の定義は？
>そして、ここで整列定理の力を借りると
>”{}＜{{}}＜{{{}}}＜{{{{}}}}∈・・・”
>と読み替えることが可能なんだよ
完全な嘘っぱちです。あなたは整列定理をまったく分かってません。というかあなた整列定理のステートメントを一度も読んだこと無いでしょ。読んでたらこんな馬鹿な事言わないはずなので。
>分りますか？？
間違いということははっきり分かります。
>このロジックの理解は、難しいだろうなｗｗ；ｐ）
はい、あなたのデタラメロジックはまったく理解不能です。
(引用終り)

1）「整列」の定義などは、私がいつもお世話になっている下記の尾畑研究室東北大
　”第13章整列集合”pdf
　を全文に渡り、百回音読してねｗ；ｐ）
2）その上で、下記 ”13.3 整列可能定理”の
　”与えられた集合に適当な順序を定義して整列集合にできるだろうか
　直感的には集合の元を1つずつ順に並べればよいわけで
　有限集合に対してなら何ら問題なくできる
　しかし無限集合に対してはどうだろうか
　カントルはできると予想しツェルメロが証明を与えた1)”
　を、熟読願います
3）いま、{},{{}},{{{}}},{{{{}}}},・・・
　について、関係”∈”を利用して
　”{}∈{{}}∈{{{}}}∈{{{{}}}}∈・・・”
　と整列させたのです
　その整列は、整列可能定理を利用したとしましょうね
省8

920(7): 01/01(水)14:02 ID:2b7XvZNh(7/16) AAS
つづき

(参考)
www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/
尾畑研究室東北大
「集合・写像・数の体系　数学リテラシーとして」の草稿(pdf)
www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/file/2018-13_WellOrdered.pdf
GAIRON-book : 2018/6/21
第13章整列集合
13.1 整列集合
順序集合(X,≦)はすべての空でない部分集合が最小元をもつとき整列集合であるといいそのような順序を整列順序という

13.2整列集合の基本定理
本節では整列集合がつ与えられたときどちらか一方は他方を延長したものであるという基本定理を証明する

13.3 整列可能定理
与えられた集合に適当な順序を定義して整列集合にできるだろうか
直感的には集合の元を1つずつ順に並べればよいわけで
有限集合に対してなら何ら問題なくできる
しかし無限集合に対してはどうだろうか
カントルはできると予想しツェルメロが証明を与えた1)
実際ツェルメロは選択公理から整列可能定理を導いたがここではツォルンの補題を用いて証明しよう2)
定理13.15 (整列可能定理)
任意の集合は適当な順序を定義することで整列集合にできる
証明 Xを任意の集合とする
以下略す

注）
1）カントルは1883年の有名な論文で整列集合の概念を与えてすべての集合を整列集合にできることは原理であり自明なことであると主張した後年になって証明を試みたようであるが成果は得られず連続体仮説とともにカントルの残した集合論の大きな課題となったツェルメロは選択公理を原理として提起してそれを用いて整列可能定理を証明したその議論は大論争を巻き起こしたが情況が明らかになる中でツェルメロは集合の公理を提示するとともに
整列可能定理の別証明を与えた（1908）
2）赤[]にはツェルメロの元証明にしたがった議論が収められている
(引用終り)
以上

921(1): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/01(水)14:06 ID:2b7XvZNh(8/16) AAS
>>917
ID:SnhQCod3 は、御大か
OTKゼミご指導ありがとうございます

924: 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/01(水)14:21 ID:2b7XvZNh(9/16) AAS
>>920 補足
>2）赤[]にはツェルメロの元証明にしたがった議論が収められている

ここ
www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/
尾畑研究室東北大
2022年度解析学入門 (宮城教育大学2年生向き水曜日5講時)
教科書・参考書
[4] 赤攝也：集合論入門, ちくま学芸文庫, 2014.
初版は培風館から1957年に出版され, 私も学生の頃に読んだ。集合の演算, 濃度, 順序数が主要なテーマであり, 理論展開は厳密かつ明晰であって, しかも記述は極めて丁寧。全くの初学者を本格的な(古典的)集合論に導く名著。ただし, 記号や言葉の使い方が今よく流通しているものと異なっているものがあるから注意せよ。
(引用終り)
のことでしょうね

(参考) （注：赤攝也先生は、かなり有名でしたね。いろんなところで、お名前を目にしました）
ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B5%A4%E6%94%9D%E4%B9%9F
赤攝也（赤摂也、せきせつや、1926年5月7日[1] - 2019年11月4日[2]）は、日本の数学者。

経歴
1926年、石川県金沢市に生まれた。東京大学理学部数学科で学び、1949年に卒業して同大学大学院（旧制）に進んだ。1951年、大学院修士課程を修了。1961年、東京教育大学に学位論文を提出して理学博士号を取得。1962年、立教大学理学部数学科助教授となった。後に教授昇進。[3]。1984年に東京教育大学教授となった。1990年に東京教育大学を定年退官し、その後は放送大学教授、客員教授を務めた。

研究内容・業績
数学基礎論の研究で知られる。文筆活動も行い、筆名・愛知三郎。立教大学での教え子に、早稲田大学理工学部教授を務めた廣瀬健がいる。
省4

927(1): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/01(水)14:58 ID:2b7XvZNh(10/16) AAS
>>925
ID:SnhQCod3 は、御大か
OTKゼミご指導ありがとうございます

>正しいか間違いかを聞くべきだとしたら
>>列 {}∈{{}}∈{{{}}}∈{{{{}}}}∈・・・が、整列していることを否定する
>　>上記『{}∈{{{}}} は偽』とか、勝手な妄想を沸かす。
>についてではないか？

御意
『{}∈{{{}}} は偽』とか、『{}∈{{{}}} は真』とか
自分で書いたことはない

おそらく、おサルさんが>>900の
”列 {}∈{{}}∈{{{}}}∈{{{{}}}}∈・・・が、整列している”
から、勝手に妄想して ”『{}∈{{{}}} は真』か？” を連想したのでしょうね；ｐ）

私の真意は、当然ながら整列可能定理を前提として
”列 {}∈{{}}∈{{{}}}∈{{{{}}}}∈・・・が、整列している”と解釈可能だということで
省2

931(4): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/01(水)17:04 ID:2b7XvZNh(11/16) AAS
>>929
(引用開始)
>私の真意は、当然ながら整列可能定理を前提として
>”列 {}∈{{}}∈{{{}}}∈{{{{}}}}∈・・・が、整列している”と解釈可能だということで
そんな解釈はできまへーーん
整列順序（当然整列定理も）が分かってないとしか言い様が無い
(引用終り)

ふっふ、ほっほ

1）>>920 尾畑研究室東北大 13.3 整列可能定理
『与えられた集合に適当な順序を定義して整列集合にできるだろうか
　直感的には集合の元を1つずつ順に並べればよいわけで
　有限集合に対してなら何ら問題なくできる
　しかし無限集合に対してはどうだろうか
　カントルはできると予想しツェルメロが証明を与えた1)
　実際ツェルメロは選択公理から整列可能定理を導いたがここではツォルンの補題を用いて証明しよう2)
　定理13.15 (整列可能定理)
　任意の集合は適当な順序を定義することで整列集合にできる』
2）ここで、簡単に例示を補足する
　記号「≤」を下記の "順序集合"から借用する
　有限集合ならば、{1，2，3}で
　標準は、1 ≤ 2 ≤ 3 だろう
　非標準 3 ≤ 2 ≤ 1 なども可能
　どちらも、整列集合である
3）可算無限集合では、非標準の例として尾畑研第13章整列集合>>920 より
　13.1 整列集合
　例13.3 自然数のふつうの配列において初めの項を最後尾に並べ替えると
　n+1,n+2,n+3 ・・・,1,2,・・n-1,n-2 (13.1)
　略整列集合である
　例13.4 自然数を偶数と奇数を分けて偶数同士奇数同士では通常の大小を考え偶数と奇数では奇数の方が小さいとする順序関係≼を導入するこの順序に関して自然数を書き並べれば
　1 3 5 ・・・ 2 4 6 ・・・（13.2）
　略こうして得られる全順序集合は整列集合になる
省15

932: 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/01(水)17:08 ID:2b7XvZNh(12/16) AAS
>>930 タイポ訂正

n+1,n+2,n+3 ・・・,1,2,・・n-1,n-2 (13.1)
　↓
n+1,n+2,n+3 ・・・,1,2,・・n-1,n (13.1)

940(5): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/01(水)19:20 ID:2b7XvZNh(13/16) AAS
>>937
ID:SnhQCod3 は、御大か
OTKゼミご指導ありがとうございます

>>936
>小出しに分けたら投稿できた。
>なんなの？

それよくある
5ｃｈ便所板の仕様でしょ！ｗ；ｐ）

>>935
>言わずもがな
>>{}∈{{}}∈{{{}}}∈{{{{}}}}∈・・・となっている
>から {}∈{{{}}} は言えない。{{{}}}の元は{{}}のみだから。いいかげんに∈の定義を学習しよう。

そこ、記号の濫用（乱用？ｗ or 記号の流用）と思ってくれ
”∈”に、引き摺られているよ。あなたはｗｗ
∈→∈' と書き換えると
{}∈' {{}}∈' {{{}}}∈' {{{{}}}}∈' ・・・と書ける
ここで、∈' は元の集合の記号から離れて順序関係を表すんだよ
{}∈' {{{}}} が、言える
そう読み替えてくださいｗ；ｐ）
省10

947(1): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/01(水)20:56 ID:2b7XvZNh(14/16) AAS
ふっふ、ほっほ
順番に行こうか；ｐ）

>>944-945
∈→∈' と書き換える利点は、ZFCで出来るノイマン宇宙 ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A9%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%8E%E3%82%A4%E3%83%9E%E3%83%B3%E5%AE%87%E5%AE%99
において
a1∈a2∈a3・・∈an∈an+1∈an+2・・のような列が構成できて
しかし、例えば an not∈ an+2のようなときにでも
常に、a1 ∈' a2 ∈' a3 ・・ ∈ 'an ∈ 'an+1 ∈ 'an+2 ・・
のように、（無限降下列を持たない）整列順序が構成できること
「無限降下列を持たない」は、基礎の公理で保証されている
即ち、ZFCのノイマン宇宙中では、記号”∈”が基本的な整列順序として使えるってことです（超限帰納法も可能になるよ）

>>941-943
>>なにか整列定理を使わないで済ませられるときでも、整列定理は常に適用可能！！
>>だって、整列定理の本質は、『公理』なのだからねｗ；ｐ）
>恐らく選択公理と同値命題と言いたいのだろうが、そのこと自体は正しくても、君の主張はまったく的外れでトンチンカン。

分ってないね。弥勒菩薩氏から、”基礎論婆”とか呼ばれているがｗ
その実基礎論もからっきしだなｗｗ；ｐ）

ある公理系の中で、公理で定められている命題は、その公理系内のあらゆる対象に適用可能だよ
もし、公理が適用できない対象があったり、公理を適用すると矛盾が起きるならば、
その対象は公理系の中では、存在してはいけないってことよ
省3

948: 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/01(水)21:02 ID:2b7XvZNh(15/16) AAS
>>946
ID:SnhQCod3 は、御大か
OTKゼミご指導ありがとうございます

>言いたいことはほぼ分かった

お互いの言い分が、
”ほぼ分かった”ってことですなｗ；ｐ）

951(2): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 01/01(水)22:47 ID:2b7XvZNh(16/16) AAS
>>949
(引用開始)
>そして、整列定理には、具体性はないだろうが、
>ある具体的な条件と組み合わせることは
>なんら制限されないってことだね
じゃあ実際に具体的な条件とやらと組み合わせて何か意味のあることを示してみて
その発言がただ口で言ってるだけの空虚な言葉じゃないなら
(引用終り)

だから、この議論のそもそもの始まりの
{}∈{{}}∈{{{}}}∈{{{{}}}}∈・・・
これは、下記の自然数Nのツェルメロ構成だが
∈→∈' の書き換えで、自然数における順序数を表していると、自然な解釈が可能です

（参考）
ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0
自然数
形式的な定義
自然数の公理

以上の構成は、自然数を表すのに有用で便利そうな定義を選んだひとつの結果であり、他にも自然数の定義は無限にできる。
これはペアノの公理を満たす後者関数 suc(a) と最小値の定義が無限に選べるからである。
例えば、0 := {}, suc(a) := {a} と定義したならば、
0 := {}
1 := {0} = {{}}
2 := {1} = {{{}}}
3 := {2} = {{{{}}}}
と非常に単純な自然数になる。

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