[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む83 (1002ﾚｽ)
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865(1): 2020/02/19(水)06:04 ID:liu9ZOvc(1/7) AAS
>>833
>ベンフォードの法則
それは初耳でした。
数学的な証明としては、log_10(2)が無理数であることと
aが無理数のとき
a,2a,...,na (mod 1)はn→∞のとき、[0,1)上に一様分布する
というワイルの一様分布定理（1909年）から直ちに従う。
ガウスが気づいていてもおかしくないような法則ですが
「10進法であらわしたときの最初の桁の数」
というのは数学者の盲点にはなるかもですね。
866(2): 2020/02/19(水)06:07 ID:liu9ZOvc(2/7) AAS
>>864
メンヘラだな〜とは思いますが、相当気に入られてますね笑
実害がなければいいのではｗ
889(1): 2020/02/19(水)19:31 ID:liu9ZOvc(3/7) AAS
自分の頭で考える気がないならSetAと同類だよ
答え自体よりも何でそうなるかという理屈を考えるのが数学
906: 2020/02/19(水)20:41 ID:liu9ZOvc(4/7) AAS
多分、間違ってる。推論がおかしいもん。
907: 2020/02/19(水)20:47 ID:liu9ZOvc(5/7) AAS
xを10進法で表示したとき最初の桁の数字が何になるかは
log_{10}(x)の小数部分（同じことだがlog_{10}(x) (mod 1)）
が[0,1)のどの区間に入るかだけで決まる。
これが基本。
912: 2020/02/19(水)20:59 ID:liu9ZOvc(6/7) AAS
したがって
x,x^2,...の最高桁の数字の分布は
log_{10}(x),2log_{10}(x),... (mod 1)
の値が[0,1)の（9つに分けた）どの区間に入るかだけで決まるが
log_{10}(x)=a が無理数であれば「ワイルの定理」より
a,2a,... (mod 1)は一様分布が言えるのだから
9つの区間の「長さ」で入る確率が決まる。
この「長さ」が一様ではなくて対数的であることが
意外性が生じる原因。
915: 2020/02/19(水)21:22 ID:liu9ZOvc(7/7) AAS
ガウスが気づかなかったというのが信じられない。
まぁ数学者は「10進法による記法」など本質的ではないと見なすから
関心の方向として発想がなかったのか？
気づいていたとして、証明するには（後の）「ワイルの一様分布定理」
が必要だが、その方法が分からなかったのか？
「ワイルの定理」の証明には三角和の方法を使う。
その発想は非自明だが、三角和はガウスも得意とするところで
しかも彼が扱っていたのはテータ級数だのガウスの和だの
ワイルの方法よりも遥に深遠な内容を含んでいる
つまりワイルの定理が証明されたのは20世紀だが、数学の
内容的な深さとしては、大したことはない。
なので、ガウスが気づいていなかった
証明できなかった、のどちらも意外性がある。
（気づいていたが、大した話じゃないと思って書き残さなかった可能性もなくはない。）
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