[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 カントル 超限集合論 (1002ﾚｽ)
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723(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/12/14(土)07:55 ID:s6Tab8iq(3/15) AAS
>>722
＜Google翻訳＞（少し手直し）
基礎とイプシロン帰納
（抜粋）
1.はじめに
累積hierarchyの最初のいくつかのレベルで作成された集合を調べることによって、または他の手段から、おそらく集合の構築のアイデアを検討することにより、集合が無限の降順シーケンスを持つことを期待しないと結論付けます
x0∋x1∋x2∋x3∋x4∋…
少なくとも、構築された集合の累積hierarchy内の集合については。
Zermelo-Fraenkel集合理論の公理は、このhierarchyで真である公理を表すことを目的としているため、このような下降シーケンスは存在できないという公理を持つことが期待されます。
残念ながら、このような降順がないというステートメントは、1次ではなく2次です。
これは、Nで真の算術のすべての1次文を満たす非標準構造があるという事実に類似しています。
ただし、算術の例では、無限の降順チェーンのないすべての構造に当てはまる強力な公理スキームに関する少なくとも1つの手がかりが得られます。
集合論に適用すると、ε-帰納の公理スキームがあります。
ε-帰納の公理スキーム：
言語L∈のすべての一次式Φ（x、a￣）について、∀a￣（∀x（∀y∈xΦ（y）→Φ（x））→∀xΦ（x、a￣））。
Zermelo Fraekelの公理スキームとしてこれを採用するつもりはありません。これは他の公理から得られるものであり、それがどのように起こるかを知ることは有益だからです。ただし、次の特別なケースのε-Inductionを採用します。
基礎公理：∀x（∃yy∈x→∃y（y∈x∧¬∃z（z∈x∧z∈y）））。
724(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/12/14(土)08:03 ID:s6Tab8iq(4/15) AAS
>>723
>累積hierarchyの最初のいくつかのレベルで作成された集合を調べることによって、または他の手段から、おそらく集合の構築のアイデアを検討することにより、集合が無限の降順シーケンスを持つことを期待しないと結論付けます
>x0∋x1∋x2∋x3∋x4∋…
>少なくとも、構築された集合の累積hierarchy内の集合については。
言いたいことは、単純で
無限の降順シーケンス
x0∋x1∋x2∋x3∋x4∋…
は、ダメってことね
で、
無限の上昇シーケンス
x0∈x1∈x2∈x3∈x4∈…
は、OKってことね
で、2つのシーケンスを比較する
降順：x0∋x1∋x2∋x3∋x4∋…
上昇：x0∈x1∈x2∈x3∈x4∈…
シーケンスの長さとしては、どちらも可算無限
で、降順はダメで、上昇はOK
∵ 上昇シーケンスを禁止したら、Zermelo-Fraenkel集合理論の公理から、可算無限 例えば自然数Nの無限列が生まれないから、自然数Nが生まれない
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