[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 カントル 超限集合論 (1002ﾚｽ)
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413(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/14(月)09:33 ID:w6tqRMw5(1/8) AAS
>>412
>>・極限は、ツェルメロとノイマンで、違って良い
>馬鹿はツェルメロ構成の場合の極限の数学的定義を示せ
ほいよ（＾＾
下記で尽きている
（参考）
http://www.math.s.chiba-u.ac.jp/~matsu/index-j.html
千葉大学大学院理学研究科 松田茂樹
http://www.math.s.chiba-u.ac.jp/~matsu/math/
数学の話題
http://www.math.s.chiba-u.ac.jp/~matsu/math/limit.pdf
極限 千葉大学大学院理学研究科 松田茂樹
千葉大の4年生、院生向けの極限の紹介文
(抜粋)
(1.1.1) . この文章は千葉大の学生向けに書いた極限についての紹介文です。主に [Ta78], [Ka76] および
[Mac98], を参考にしています。
(1.1.3). 極限 (逆極限, 順極限) の概念は, 歴史的には様々な形で現われた。当初はポセット (部分順序集合)
を添字集合とする形で定式化され, 特にポセットが有向 (directed ないしは filtered) な場合に詳しくその性質
が調べられたようである。そのため現在でもそのような仮定の下で定義されることも多い。その後, 有向とは
限らない一般のポセットや, ポセットではなく小さい圏の上での極限として定式化されるようになった。この
文章では, まずは直観的に扱いやすいポセット上の極限を一般的な圏の場合に説明する。次に, 環上の加群の
極限について少し詳しく見た後, 圏の上の極限について極限を定式化しなおすことにする。
(2.1.5) 定義. ポセット S が有向 (filtered ないしは directed) とは, 任意の x, y ∈ I に対し x <= z かつ
y <= z となる z ∈ I が存在することである。全順序であればもちろん有向である。
省8
415(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/14(月)10:07 ID:w6tqRMw5(2/8) AAS
>>413
・任意の自然数よりも大きい最小の超限順序数 ωが定義されたとする（これは同型を除いて一意）
・ωは、順序数全体の成す類において順序位相（英語版）に関する極限点
・集積点であるとは、x の任意の近傍が S の点を無限に含むという条件に同値である
・よって、下記の「0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω)」上昇列から、
S(ω)→ｎ（ｎは有限）の ”無限降下列”を考えると
集積点ω（＝極限順序数）を通過するので、「S の点を無限に含む」、即ち、無限の自然数の元を含む
・しかし、構成法からも分かるように、この”無限降下列”は最小元をもち、正則性公理（＝最小元を持たない）には反しない
QED
(参考>>322もご参照)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E9%99%90%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
極限順序数
(抜粋)
集合論および順序論（英語版）における極限順序数は 0 でも後続順序数でもない順序数を言う。
任意の自然数よりも大きい最小の超限順序数 ω は、極限順序数である。
・順序数全体の成す類において順序位相（英語版）に関する極限点 (ほかの順序数は孤立点となる)。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%86%E7%A9%8D%E7%82%B9
集積点/極限点
(抜粋)
定義
位相空間 X の部分集合 S に対し、X の点 x が S の集積点であるとは、x を含む任意の開集合が少なくとも一つの x と異なる S の点を含むことを指す
この条件は T1-空間においては、x の任意の近傍が S の点を無限に含むという条件に同値である
https://ja.wikipedia.org/wiki/T1%E7%A9%BA%E9%96%93
T1空間
(抜粋)
X が T1-空間であるとは、X の任意の相異なる二点が分離できるときに言う
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
順序数
(抜粋)
順序数の並び方を次のように図示することができる：
0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω), S(S(ω)), ・・
省2
416(1): Mara Papiyas ◆y7fKJ8VsjM 2019/10/14(月)10:12 ID:llLaGKvq(2/8) AAS
>>413
馬鹿が「ほいよ」というときは、必ずといっていいほど見当違いｗ
∋で列をつくるんだからω’∋ａとなるａを示せなくては意味がない
馬鹿のやり方がどんなものか
馬鹿自身示せないから
分かりようがないが
・ω’＝{{…}}だというなら延々と続いて
有限回で{}にたどりつかないので
無限降下列ができあがる
・ω’＝…{{}}…だというなら
いかなるｎ’についてもω’∋ｎ’でないし、
そもそもω’∋ｘとなるｘが存在するとも思えんから
集合としての体を為してない
ω’＝{{},{{}},{{{}}},{{{{}}}},…}
ならいかなるｎ’についてもω’∋ｎ’となる
省3
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