現代数学の系譜　カントル　超限集合論

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721: 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/12/14(土)07:26 ID:s6Tab8iq(1/15) AAS
>>720
おまえの負けだな

１．「信用」？数学は信用でやるものだったのか？
２．５CHは、基本は匿名の名無しさんだよね？　日替わりIDの匿名さんを「信用」？バカじゃね（＾＾
３．自ら、”自分は数学は不出来で、分かりません”と自白しているってことよね

722(1): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/12/14(土)07:47 ID:s6Tab8iq(2/15) AAS
>>713
文字化けを直して、再引用しよう
http://web.mat.bham.ac.uk/R.W.Kaye/logic/foundation.html
Foundation and epsilon-induction
(抜粋)
1. Introduction
Either by examining the sets created in the first few levels of the cumulative hierarchy or from other means, via considering the idea of constructions of sets perhaps, we conclude that we do not expect sets to have infinite descending sequences
x0∋x1∋x2∋x3∋x4∋…
at least for sets in the cumulative hierarchy of constructed sets.
The axioms of Zermelo-Fraenkel set theory are intended to represent axioms true in this hierarchy, so we expect to have an axiom stating there can be no such descending sequence.
Unfortunately, the statement that there is no such descending sequence is not first order, but second order.
This is analogous to the fact that there are nonstandard structures satisfying all first order sentences of arithmetic true in N.
However, the example of arithmetic provides at least one clue as to a powerful axiom scheme true in all structures without infinite descending chains: induction.
Applied to set theory we have the axiom scheme of ∈-induction.
Axiom Scheme of ∈-Induction:
For all first order formulas Φ(x,a￣) of the language L∈, ∀a￣(∀x(∀y∈xΦ(y)→Φ(x))→∀xΦ(x,a￣)).
We are not going to adopt this as an axiom scheme for Zermelo Fraekel because it will follow from other axioms, and it will be instructive to see how that happens. We will, however, adopt the following special case of ∈-Induction.
Axiom of Foundation: ∀x(∃y y∈x→∃y(y∈x∧￢∃z(z∈x∧z∈y))).

723(1): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/12/14(土)07:55 ID:s6Tab8iq(3/15) AAS
>>722
＜Google翻訳＞（少し手直し）
基礎とイプシロン帰納
（抜粋）
1.はじめに
累積hierarchyの最初のいくつかのレベルで作成された集合を調べることによって、または他の手段から、おそらく集合の構築のアイデアを検討することにより、集合が無限の降順シーケンスを持つことを期待しないと結論付けます
x0∋x1∋x2∋x3∋x4∋…
少なくとも、構築された集合の累積hierarchy内の集合については。
Zermelo-Fraenkel集合理論の公理は、このhierarchyで真である公理を表すことを目的としているため、このような下降シーケンスは存在できないという公理を持つことが期待されます。
残念ながら、このような降順がないというステートメントは、1次ではなく2次です。
これは、Nで真の算術のすべての1次文を満たす非標準構造があるという事実に類似しています。
ただし、算術の例では、無限の降順チェーンのないすべての構造に当てはまる強力な公理スキームに関する少なくとも1つの手がかりが得られます。
集合論に適用すると、ε-帰納の公理スキームがあります。
ε-帰納の公理スキーム：
言語L∈のすべての一次式Φ（x、a￣）について、∀a￣（∀x（∀y∈xΦ（y）→Φ（x））→∀xΦ（x、a￣））。
Zermelo Fraekelの公理スキームとしてこれを採用するつもりはありません。これは他の公理から得られるものであり、それがどのように起こるかを知ることは有益だからです。ただし、次の特別なケースのε-Inductionを採用します。
基礎公理：∀x（∃yy∈x→∃y（y∈x∧￢∃z（z∈x∧z∈y）））。

724(2): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/12/14(土)08:03 ID:s6Tab8iq(4/15) AAS
>>723
>累積hierarchyの最初のいくつかのレベルで作成された集合を調べることによって、または他の手段から、おそらく集合の構築のアイデアを検討することにより、集合が無限の降順シーケンスを持つことを期待しないと結論付けます
>x0∋x1∋x2∋x3∋x4∋…
>少なくとも、構築された集合の累積hierarchy内の集合については。

言いたいことは、単純で
無限の降順シーケンス
x0∋x1∋x2∋x3∋x4∋…
は、ダメってことね

で、
無限の上昇シーケンス
x0∈x1∈x2∈x3∈x4∈…
は、OKってことね

で、2つのシーケンスを比較する
降順：x0∋x1∋x2∋x3∋x4∋…
上昇：x0∈x1∈x2∈x3∈x4∈…

シーケンスの長さとしては、どちらも可算無限
で、降順はダメで、上昇はOK
∵ 上昇シーケンスを禁止したら、Zermelo-Fraenkel集合理論の公理から、可算無限例えば自然数Nの無限列が生まれないから、自然数Nが生まれない

725(4): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/12/14(土)08:13 ID:s6Tab8iq(5/15) AAS
>>724 つづき

<ノイマン構成>
0 := {}, suc(a) :=a∪{a} と定義する
0 を含み後者関数について閉じている集合のひとつを M とする。
自然数は「後者関数について閉じていて、0 を含む M の部分集合の共通部分」として定義される。
無限集合の公理により集合 M が存在することが分かり、このように定義された集合がペアノの公理を満たすことが示される。
このとき、それぞれの自然数は、その数より小さい自然数全てを要素とする数の集合、となる。
0 := {}
1 := suc(0) = {0} = {{}}
2 := suc(1) = {0, 1} = {0, {0}} = { {}, {{}} }
3 := suc(2) = {0, 1, 2} = {0, {0}, {0, {0}}} = { {}, {{}}, { {}, {{}} } }
等々である[3]。

以上の構成は、自然数を表すのに有用で便利そうな定義を選んだひとつの結果であり、他にも自然数の定義は無限にできる。これはペアノの公理を満たす後者関数 suc(a) と最小値の定義が無限に選べるからである。

<Zermelo構成>
0 := {}, suc(a) := {a} と定義したならば、
0 := {}
1 := {0} = {{}}
2 := {1} = {{{}}}
3 := {2} = {{{{}}}}
と非常に単純な自然数になる。

728(3): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/12/14(土)08:37 ID:s6Tab8iq(6/15) AAS
>>725 つづき

<ノイマン構成>にしろ、<Zermelo構成>にしろ
0,1,2,3,・・・たちを集合として見たら

上昇列：0∈1∈2∈3∈4∈…

が構成される
これは、可算無限長の上昇列
で、<ノイマン構成>と<Zermelo構成>とは、一対一対応がつくのです

自然数は「後者関数について閉じていて、0 を含む M の部分集合の共通部分」（>>725）
とあるように、無限集合の公理によりできる集合 M には、自然数Nに余分な（過剰）要素が存在する
（だから、無限集合（＝後者関数について閉じていて）で、共通部分に絞って、過剰要素を落とすのです）
省13

729(4): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/12/14(土)08:50 ID:s6Tab8iq(7/15) AAS
>>728 補足

ノイマン構成で、下記のカントールの順序数が構成できる
具体的には、ノイマン構成で順序数ωが構成できる
（当たり前だが）

ノイマン構成とZermelo構成とは、その構成法から、一対一対応がつく
（∵ 後者関数が少し違うだけなので、順序列としては当然同型になる（∈列として同型））

よって、Zermelo構成で順序数ωが構成できる
順序数ωを簡便に表現すれば、例えば {{…}} ってことです
（この簡便化した表現をいくら攻撃しても、Zermelo構成の順序数ωの存在は否定できないよ）

QED（＾＾
省9

735(1): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/12/14(土)10:04 ID:s6Tab8iq(8/15) AAS
おサル、必死の言い繕い
墓穴を大きくするおサルｗ（＾＾；

739(2): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/12/14(土)15:14 ID:s6Tab8iq(9/15) AAS
（＾＾；
「∈列有限長」ｗｗ
おサル＝ID:uZFmzNJe は、恥かき

”「集合のいかなる∈列も有限長で終わる」
というのが正則性公理ですから”ｗｗ

(>>636より)
Inter-universal geometry と ABC予想 42
2chｽﾚ:math
701 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2019/12/07(土) ID:uZFmzNJe [3/3]
>>697
＞正則性公理には反してませんよ、ZFCに反してませんよと強調したかった
しかし∈-loopsは、正則性公理とは矛盾しますけどね
「集合のいかなる∈列も有限長で終わる」
というのが正則性公理ですから
（それゆえ「基礎の公理」とも呼ばれる）

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E7%A4%8E%E9%96%A2%E4%BF%82
整礎関係
(抜粋)
数学において、二項関係が整礎（せいそ、英: well-founded）であるとは、真の無限降下列をもたないことである。

定義
集合あるいはクラス X 上の二項関係 R が整礎であるとは、X の空でない任意の部分集合 S が R に関する極小元を持つことをいう[1]。
省10

740(2): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/12/14(土)15:31 ID:s6Tab8iq(10/15) AAS
>>739
＞”「集合のいかなる∈列も有限長で終わる」

じゃ、>>728の
<ノイマン構成>

0,1,2,3,・・・たちを集合として見て
可算無限長の上昇列
0∈1∈2∈3∈4∈…

（当然この列は、ωを超えて延長可能（>>729ご参照））
が否定されるぞｗ（＾＾

おサルよｗｗ

747(3): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/12/14(土)21:58 ID:s6Tab8iq(11/15) AAS
>>743
>ωから降下していく場合、いきなり何かある自然数ｎに降下するから

おサルの墓穴は、笑えるわｗ

下記の
”定義 2.2
（ X, =< ）を全順序とする。Xに無限降下列
a0 > a1 > a2 > ・・・ (ai ∈ X)
が存在しないとき、（ X, =< ）を整列順序という。
別の言い方をすれば、整列順序とは空でないどんな部分集合 Y ⊆ X も最小元を持つよう
な全順序のことである。”

を、熟読しなよ、あほサル（＾＾；

http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/ja/zengaku-18.html
全学共通科目「現代の数学と数理解析」
数理解析研究所教員によるリレー式講義　（２０１８年度）
省23

748(2): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/12/14(土)22:07 ID:s6Tab8iq(12/15) AAS
>>747 補足

”定義 2.2
（ X, =< ）を全順序とする。Xに無限降下列
a0 > a1 > a2 > ・・・ (ai ∈ X)”

は、列の長さを言っているんだろ？（＾＾

勝手に、
（>>743）
>ωから降下していく場合、いきなり何かある自然数ｎに降下するから

ってさ、勝手に途中の要素いくつか
列・・・<an <an-1 <・・・で
例えば、an-1 <・・・を飛ばすのか？
省4

749: 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/12/14(土)22:09 ID:s6Tab8iq(13/15) AAS
>>748 タイポ訂正

列・・・<an <an-1 <・・・で
例えば、an-1 <・・・を飛ばすのか？
　↓
列・・・<an <an+1 <・・・で
例えば、an+1 <・・・を飛ばすのか？

おサルを笑っていたら
間違えた（＾＾；

754: 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/12/14(土)23:25 ID:s6Tab8iq(14/15) AAS
>>747 補足

”定義 2.2
（ X, =< ）を全順序とする。Xに無限降下列
a0 > a1 > a2 > ・・・ (ai ∈ X)
が存在しないとき、（ X, =< ）を整列順序という。
別の言い方をすれば、整列順序とは空でないどんな部分集合 Y ⊆ X も最小元を持つよう
な全順序のことである。”

（>>740より）
<ノイマン構成>
0,1,2,3,・・・たちを集合として見て
可算無限長の上昇列
0∈1∈2∈3∈4∈…

このような、上昇列は、どんなに長くなって、たとえ無限長になっても
「空でないどんな部分集合 Y ⊆ X も最小元を持つ」が言える
だから、<ノイマン構成>の上昇列は、
「空でないどんな部分集合 Y ⊆ X も最小元を持つ」が言えるから
整列順序である

つまり、正則性公理に反するものではない
省4

755: 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/12/14(土)23:30 ID:s6Tab8iq(15/15) AAS
>>752

「いかなる超限順序数からの降下列も有限列
これが超限帰納法」

おサル
哀れななんとかさんと、良い勝負だな、おまえｗ（＾＾

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