現代数学の系譜　カントル　超限集合論

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554: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/12/01(日) 07:53:15.16 ID:id6ENHqe

>>503 補足
>一階述語論理か
>それ以上の高階述語論理なのかに無自覚ならば
>所詮、有限と無限とをきちんと区別できない
>それを知らずに議論するあわれな落ちこぼれたち
>あわれな”なんとかさん”と同類じゃね！？ｗ（＾＾；

（まとめ引用）ｗ（＾＾
　>>251より
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AC%E3%83%BC%E3%83%B4%E3%82%A7%E3%83%B3%E3%83%8F%E3%82%A4%E3%83%A0%E2%80%93%E3%82%B9%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%83%AC%E3%83%A0%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
レーヴェンハイム-スコーレムの定理
(抜粋)
レーヴェンハイム-スコーレムの定理（英: Lowenheim-Skolem theorem）とは、可算な一階の理論が無限モデルを持つとき、全ての無限濃度 κ について大きさ κ のモデルを持つ、という数理論理学の定理である。
そこから、一階の理論はその無限モデルの濃度を制御できない、そして無限モデルを持つ一階の理論は同型の違いを除いてちょうど1つのモデルを持つようなことはない、という結論が得られる。
定理の上方部分の証明は、いくらでも大きな有限のモデルを持つ理論は無限のモデルを持たねばならないことをも示す。
もちろん同型の違いを除いて、(N, +, ×, 0, 1) と (R, +, ×, 0, 1) を特徴付ける公理化が存在する。
レーヴェンハイム-スコーレムの定理は、それらの公理化が一階ではあり得ないことを示している。
例えば、線型順序の完備性は実数が完備な順序体であることを特徴付けるのに使われるが、その線型順序の完備性は一階の性質ではない。

>>491より
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89%E9%99%90%E9%9B%86%E5%90%88
有限集合
(抜粋)
基礎付け問題
無限集合を擁護する数学者にとっても、ある重要な文脈では、有限集合と無限集合の形式的区別は微妙な問題として残った。
これはゲーデルの不完全性定理に端を発している。遺伝的有限集合はペアノ算術で解釈でき（逆もまた同様）、従ってペアノの理論体系の不完全性は遺伝的有限集合の理論にも存在することが暗に示されている。
つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/554

563: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/12/01(日) 09:03:00.56 ID:id6ENHqe

>>552 補足

下記順序数”0, 1, 2, 3, ............, ω， S(ω)（＝ω+1）”を数直線に埋め込んでみよう
数直線の区間[0,2]で
n→1-(1/(1+n))＝n/(1+n)
と変換すると
0→1-1/1＝0
1→1-1/2＝1/2
2→1-1/3＝2/3
3→1-1/4＝3/4
　・
　・
ω→1-1/(1+ω)＝1
となって、”0, 1, 2, 3, ............, ω”
は、区間[0,1]に埋め込める
そこから、 S(ω)（＝ω+1）は
ω+1→1+1/2となって、区間[1,2]の中央の点に対応する
そして、上記が繰返される

（>>552の）Zermeloの自然数構成では、可算多重シングルトン{・・・{}・・・}＝ωであり
これは、区間[0,1]の点[1,1]に相当する
これで、可算多重シングルトン{・・・{}・・・}＝ωのモデルが存在することが分かった
QED

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
順序数
(抜粋)
順序数の大小関係

順序数の並び方を次のように図示することができる：

0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ............, ω + ω, S(ω + ω), S(S(ω + ω)), S(S(S(ω + ω))), ..............................
まず、0 が最小の順序数である。その後に S(0) = 1, S(S(0)) = 2, S(S(S(0))) = 3, ... と有限順序数（自然数）が通常の順序で並んでいる。
そして、すべての自然数が並び終えると、次に来るのが最小の超限順序数 ω である。ω の後にはまたその後続者たちが S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ... と無限に続いていく。
その後、それらの最小上界（後に ω + ω と呼ばれる）が並び、その後続者たちが無限に続く。だがそれで終わりではない。
無限に続いた後には、必ずそれまでに並んだすべての順序数たちの最小上界が存在し、その後続者、そのまた後続者、... のように順序数の列は"永遠に"続いていくのである。
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/563

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