現代数学の系譜　カントル　超限集合論

[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜　カントル　超限集合論 (1002ﾚｽ)
上下前次1-新
抽出解除必死ﾁｪｯｶｰ(本家) (べ) 自ID ﾚｽ栞あぼーん

このｽﾚｯﾄﾞは過去ﾛｸﾞ倉庫に格納されています｡
次ｽﾚ検索歴削→次ｽﾚ栞削→次ｽﾚ過去ﾛｸﾞﾒﾆｭｰ

110(5): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/06(日)07:57 ID:d8OQiN+r(1/27) AAS
>>95 追加

>Infinity
>This final axiom asserts the existence of an infinitely large set which contains the empty set, and for each set a that it contains, also contains the set {a}.
> (Thus, this infinite set must contain Φ, {Φ}, {{Φ}}, ….)

で、N＝{Φ, {Φ}, {{Φ}}, …}で、自然数の集合Nができるけど
無限公理で最初は、Nよりも大きな集合ができるんですよね、確か（下記wiki）

それを、最小の無限集合に絞って小さくする操作が必要です
最小の無限集合に絞った結果、Nには有限の元ｎしか含まれないものができる

なので、無限公理でできた最小に絞る前の無限集合には、
自然数を表現する以上の
つまり、真に無限の{・・・{Φ}・・・}なる無限多重カッコ{}の集合が
含まれていることは
明白ですね
QED
省9

111(1): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/06(日)08:00 ID:d8OQiN+r(2/27) AAS
>>105
　>>110をどうぞ

112(5): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/06(日)08:39 ID:d8OQiN+r(3/27) AAS
>>77 追加

下記、定理 93ですけど、ここに集積点を含まないことは明白ですね（＾＾
http://www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/
坪井明人筑波大
http://math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/und/set2.pdf
坪井明人
11 整列集合
定義 88（整列順序）順序集合 (X, <) が整列集合（あ
るいは整列順序集合）であるとは，空でない任意の
A ⊂ X の中に（A の）最小元が存在することである．
注意 89 整列集合は全順序集合である．全順序集合
であることは，２元集合 A = {x, y} に必ず最小元が
存在することからわかる．
例 90
1. (N, <) は整列集合である．
2. (Z, <) は（全順序集合であるが）整列集合でない．
3. 有限の全順序集合は整列集合になる．
関数 f : N → X は X の元からなる無限列と考えられる．
無限列は (an)n∈N などで表す．
定義 91 (X, <) を順序集合とする．X の元の無限列
(an)n∈N が無限降下列であるとは，任意の n ∈ N に対して，
an+1 < an が成立することである．
例 92 1. Z における数列 (an)n∈N を an = ?n で定めると，無限降下列である．
2. N の中には無限降下列は存在しない．

定理 93 (X, <) を順序集合とする．このとき次は同値である：
1. (X, <) は整列集合である；
2. (X, <) は全順序集合で，なおかつ無限降下列を持たない．

証明： 1 ⇒ 2: (X, <) を整列集合とする．全順序
集合になることは既に調べた．X の中に無限降下
列 (an)n∈N が存在したとしよう．このとき，集合
A = {an : n ∈ N} ⊂ X は最小元を持たない．これ
省13

150: 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/06(日)10:54 ID:d8OQiN+r(4/27) AAS
>>112 参考

先のPDFは2 学期で、下記のPDF１学期の続きだな
http://www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/und/set1
集合入門坪井明人筑波大
(抜粋)
１学期
1. 高校の復習など
2. ベキ集合，直積集合
3. ２項関係その１（同値関係，同値類，分割）
4. ２項関係その２（擬順序，順序）
5. 関数その１
6. 関数その２
7. 全順序集合
8. 数の構成その１（N から Z を構成する）
9. 数の構成その２（Z から Q を構成する）
10. 数の構成その３（時間があれば Q から R の
構成）
2 学期
1. 整列集合，辞書式順序
2. 超限帰納法
3. 選択公理
4. Zorn の補題
5. 整列可能性定理
6. ベルンシュタインの定理
7. 可算集合
8. 対角線論法
9. 集合の大きさと濃度
以上が２学期間で講義するおおまかな内容を列挙し
たものである．

151(6): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/06(日)11:23 ID:d8OQiN+r(5/27) AAS
>>110 補足

>Infinity
>This final axiom asserts the existence of an infinitely large set which contains the empty set, and for each set a that it contains, also contains the set {a}.
> (Thus, this infinite set must contain Φ, {Φ}, {{Φ}}, ….)
で、N＝{Φ, {Φ}, {{Φ}}, …}で、自然数の集合Nができるけど
無限公理で最初は、Nよりも大きな集合ができるんですよね、確か（下記wiki）
(引用終り)

ツェルメロ構成で、aの後者関数：suc(a) := {a} なので
上記、set a に対して set {a}が必ず属するという、無限公理の規定の仕方をしているのかな？
（原典まで確認していないが）

ノイマン流では、で、aの後者関数：suc(a) := a∪{a} なので
この場合の無限公理は、set a に対して a∪{a}が必ず属すると規定される

まあ、自然数ｎに対しその後者ｎ＋１が必ず属する集合Nが存在という意味だな
このNは、我々の望む自然数ｎ以上のものを含む。というか、含んでも無限公理上はしかたない
だから、あとから不要なもの（後者）を排除するしかない
省17

154(6): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/06(日)12:48 ID:d8OQiN+r(6/27) AAS
>>151 追加
von Neumannで、自然数Nが構成できる（下記）
無限降下列
0∈1∈2・・∈N
が出来る
無限公理によりできる集合N’には、自然数N以上の無限大の後者が含まれている
そこから、不要元をそぎ落として、自然数Nにする
集合N’が、正則性公理に反するだと？(゜ロ゜;

（参考）
https://hc3.seikyou.ne.jp/home/Tetu.Makino/suu_no_taikei.pdf
平成26年度教員免許状更新講習テキスト
「数の体系」講師：牧野　哲　（山口大学工学部教授）2014 年 6 月 22 日
(抜粋)
P3
1.3 自然数系の（本質的）一意性
自然数系の標準的な代表として用いることにして，これを N と記す。
他の自然数系はみな，N に同型である。
P4
集合論から自然数系を構成する方法としては，
von Neumann の方法が知られている。
これは，
0 := Φ(空集合), 1 := {Φ}, 2 := {Φ, {Φ}}, ・・・ , s(n) := {0, 1, 2, ・・・ , n}, ・・・
とする。
また，Zermero の方法は，
0 := Φ, 1 := {Φ}, 2 := {{Φ}}, ・・・ , s(n) = {n}, ・・・
とする。
前者では，たとえば，3 ∈ 5 であるが，
後者では 3 not∈ 5 となり，
同じではないが，
どちらが優れているとも云いがたい。
(引用終り)

155(2): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/06(日)13:05 ID:d8OQiN+r(7/27) AAS
>>154 追加
さて、上記von Neumannで、自然数Nが構成できる
無限降下列
0∈1∈2・・∈N・・∈N’
とでも書きますかね

0∈1∈2・・∈N・・∈N’の部分は無限長
0∈1∈2・・∈N’の部分も無限長
上段が、正則性公理でだめなら
下段も、正則性公理でだめ（＾＾

そもそも、順序数は無限なのだから、正則性公理で規制されるものではない
ところで、下記の「濃度と順序数 fujidig」では
”無限強単調減少列
x0 > x1 > x2 > . . . ”
という用語を使っています（＾＾

この用語が適切かどうか不明だが
「濃度と順序数 fujidig」では、最小元を持たない無限単調減少列という意味でしょう
（文学的表現では、底抜けってことですね）
一方、順序数での数列には、必ず最小元を持つ。それが、無限列であっても
正則性公理で禁止しているのは、明らかに、底抜けの最小元を持たない無限単調減少列です
最小元を持つ、上昇する無限列を禁止するものではない！（＾＾

https://fujidig.github.io/
でぃぐのページハンドルネーム: fujidig
https://fujidig.github.io/201606-cardinal/201606-cardinal.pdf
濃度と順序数 fujidig
June 21, 2016
(抜粋)
P15
順序数というのは自然数が持つ「番号を振る」という目的を無限方向に拡張したものだといえる．
P16
・整列集合 N の型は ω と書かれる．これは最小の無限順序数である．
・順序数を小さい方から順に並べると
省16

158: 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/06(日)13:15 ID:d8OQiN+r(8/27) AAS
>>128
どうも、ガロアスレのスレ主です（＾＾

(引用開始)
＞いい年してベビーメタルの大ファンで、
安達、いいタイミングでいってくれたな
(引用終り)

なるほど
おサルさんか（＾＾

159(3): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/06(日)13:21 ID:d8OQiN+r(9/27) AAS
>>155 補足
>この用語が適切かどうか不明だが
>「濃度と順序数 fujidig」では、最小元を持たない無限単調減少列という意味でしょう
>（文学的表現では、底抜けってことですね）

そういう目で見ると
　>>112 坪井明人筑波大 11 整列集合
”定理 93 (X, <) を順序集合とする．このとき次は同値である：
1. (X, <) は整列集合である；
2. (X, <) は全順序集合で，なおかつ無限降下列を持たない．”
の証明を読むと、明らかに、無限降下列＝底抜けの最小元を持たない無限単調減少列の意味ですね

もちろん、>>155 「濃度と順序数 fujidig」さんのP17 命題 4
”整列集合 X から無限強単調減少列”もこの意味
証明で
”x0 > x1 > x2 > . . . がとれると仮定する．
すると X の部分集合
{x0, x1, x2, . . . } には最小元がないため整列性に反する．”と書いてありますからね（＾＾

160(3): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/06(日)13:26 ID:d8OQiN+r(10/27) AAS
>>159 つづき

なので、正則性公理にいう
”無限下降列である x∋x1∋x2∋・・・ ”は
底抜けの最小元を持たない無限単調減少列の意味ですね（＾＾

これを、取り違えて
最小元を持つ、順序数の無限列に適用して、
「正則性公理に反する」とかは、いけませんね（＾＾

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E5%89%87%E6%80%A7%E5%85%AC%E7%90%86
正則性公理
(抜粋)
以下の4つの主張はいずれも同値であり、どれを正則性の公理として採用しても差し支えない。
・任意の空でない集合xに対して、∃y∈x,x∩y=0
・∀xについて、∈がx上well-founded
・∀xについて、無限下降列である x∋x1∋x2∋・・・は存在しない。
(引用終り)

162(4): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/06(日)13:38 ID:d8OQiN+r(11/27) AAS
>>151 補足
ツェルメロの自然数構成で
0：Φ
1：{Φ}
2：{{Φ}}
　・
　・
n：{・・{Φ}・・} n重
これで、全ての有限の自然数は構成できる
無限公理で、Nとωが出来たあとに、
ω：{・・{Φ}・・} ω重（ωは、下記のwikipedia定義に従う）
と定義すれば良い
下記、順序数「すべての自然数が並び終えると、次に来るのが最小の超限順序数 ω である」
但し、下記”順序型というアイデア”を使う
QED

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
順序数
(抜粋)
次が成り立つ：
5.順序数からなる空でない集合には必ず最小元が存在する
順序数の並び方を次のように図示することができる：
0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ............
まず、0 が最小の順序数である。その後に S(0) = 1, S(S(0)) = 2, S(S(S(0))) = 3, ... と有限順序数（自然数）が通常の順序で並んでいる。
そして、すべての自然数が並び終えると、次に来るのが最小の超限順序数 ω である。ω の後にはまたその後続者たちが S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ... と無限に続いていく。
注釈
^ 順序数は本来、上で述べた定義とは異なる仕方で定義されていた。
その定義とは、順序集合全体の集まりを「同型である」という "同値関係" によって類別したとき、順序集合 (A, <) の "同値類" を (A, <) の順序型（order type）と呼び、特に整列集合の順序型を順序数と呼ぶというものである。
ところが現代の標準的な集合論においては、A が空集合でない限り (A, <) と同型な順序集合全体の集合といったものは存在しないことが示される。
したがって、このような順序数の定義の仕方は正当な方法であるとは認められない。
これを克服するために考えられたのが上で述べた定義であり、現在は上の定義（あるいはそれと同値な定義）が広く用いられている。
だが、順序型というアイデア自体が排除されたわけではない。順序数を上で述べたような仕方で定義した後、それを用いることによって順序型を正当な方法で定義できるということが知られている。
省2

163(3): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/06(日)13:42 ID:d8OQiN+r(12/27) AAS
>>161
＞ωから始まる∈無限降下列が存在すると言いたいなら、その列の第2項（ωの次の項）を示して下さい

その質問は、哀れな素人さんの無限に関する質問に類似
ノイマン構成が理解でていませんね
どうぞ、大学教員に質問願います
高校教員でもいいかもね（>>154 平成26年度教員免許状更新講習テキスト「数の体系」講師：牧野　哲）

164(6): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/06(日)13:53 ID:d8OQiN+r(13/27) AAS
>>163 補足
＞ωから始まる∈無限降下列が存在すると言いたいなら、その列の第2項（ωの次の項）を示して下さい

(>>154より）
von Neumannで、自然数Nが構成できる（下記）
無限降下列
0∈1∈2・・∈N

ノイマン構成では、N＝ωです
ωが、極限順序数で、位相的に集積点（極限点）であり、任意の近傍が S の点を無限に含むということを、ご理解ください
特に、”任意の近傍が S の点を無限に含む”が理解できないのかな？

（参考）
https://hc3.seikyou.ne.jp/home/Tetu.Makino/suu_no_taikei.pdf
平成26年度教員免許状更新講習テキスト
「数の体系」講師：牧野　哲　（山口大学工学部教授）2014 年 6 月 22 日
(抜粋)
P4
集合論から自然数系を構成する方法としては，
von Neumann の方法が知られている。
これは，
0 := Φ(空集合), 1 := {Φ}, 2 := {Φ, {Φ}}, ・・・ , s(n) := {0, 1, 2, ・・・ , n}, ・・・
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E9%99%90%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
極限順序数
(抜粋)
任意の自然数よりも大きい最小の超限順序数 ω は、それよりも小さい任意の順序数（つまり自然数）n が常にそれよりも大きい別の自然数（なかんずく n + 1）を持つから、極限順序数である。
・順序数全体の成す類において順序位相（英語版）に関する極限点 (ほかの順序数は孤立点となる)。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%86%E7%A9%8D%E7%82%B9
集積点/極限点
(抜粋)
定義
位相空間 X の部分集合 S に対し、X の点 x が S の集積点であるとは、x を含む任意の開集合が少なくとも一つの x と異なる S の点を含むことを指す
この条件は T1-空間においては、x の任意の近傍が S の点を無限に含むという条件に同値である
https://ja.wikipedia.org/wiki/T1%E7%A9%BA%E9%96%93
省4

165(2): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/06(日)13:59 ID:d8OQiN+r(14/27) AAS
>>164 追加
（参考）
現代数学はインチキだらけより
2chｽﾚ:math
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E7%A4%8E%E9%96%A2%E4%BF%82
整礎関係
(抜粋)
その他の性質
(X, <) が整礎関係で x が X の元ならば、x から始まる降鎖列は必ず長さ有限だが、これはこのような降鎖の長さが有界であるということを意味しない。
以下のような例を考えよう。X は正の整数全体の成す集合に、どの整数よりも大きな整数ではない新しい元 ω を付け加えた集合とする。
このとき X は整礎だが、ω から始まる長さ有限の降鎖列でいくらでも長いものが取れる。なんとなれば、任意の正整数 n に対して
ω, n - 1, n - 2, ..., 2, 1
という鎖は長さ n を持つ。
モストウスキーの崩壊補題 (Mostowski collapse lemma) によれば、集合要素関係 (set membership) は普遍的な整礎関係である。つまり、クラス X 上の集合的な整礎関係 R に対し、クラス C が存在して、(X, R) が (C, ∈) に同型となる。
(引用終り)
（英語版）
https://en.wikipedia.org/wiki/Well-founded_relation
Well-founded relation
(抜粋)
Other properties
If (X, <) is a well-founded relation and x is an element of X, then the descending chains starting at x are all finite, but this does not mean that their lengths are necessarily bounded.
Consider the following example: Let X be the union of the positive integers and a new element ω, which is bigger than any integer.
Then X is a well-founded set, but there are descending chains starting at ω of arbitrary great (finite) length; the chain ω, n - 1, n - 2, ..., 2, 1 has length n for any n.
The Mostowski collapse lemma implies that set membership is a universal among the extensional well-founded relations: for any set-like well-founded relation R on a class X which is extensional, there exists a class C such that (X, R) is isomorphic to (C, ∈).
(引用終り)

168(1): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/06(日)14:42 ID:d8OQiN+r(15/27) AAS
>>166
√5 ＝〜 2.2360679・・・・・　　富士山麓オーム鳴く［ふじさんろくおーむなく］
この数列の最後の数字は、0〜9のどれでしょうか？
これと類似の質問では？
https://www.shinko-keirin.co.jp/keirinkan/kosu/mathematics/qanda/01-09.html
数学トピックQ&A
無理数の語呂合わせ
√5 ＝〜 2.2360679・・・・・　　富士山麓オーム鳴く［ふじさんろくおーむなく］

169: 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/06(日)14:44 ID:d8OQiN+r(16/27) AAS
むかし、２Chと言っていた時代に
新聞だったかに、書かれていたのが
「大人だと思って書いていたら、相手は子供だった」という記述があるのを思い出しました

171(1): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/06(日)15:34 ID:d8OQiN+r(17/27) AAS
>>170
>数列 an には最後の項 a∞ はありません
>一方第2項 a2 はあります

これは酷い

　>>165より
”(X, <) が整礎関係で x が X の元ならば、x から始まる降鎖列は必ず長さ有限だが、これはこのような降鎖の長さが有界であるということを意味しない。
以下のような例を考えよう。X は正の整数全体の成す集合に、どの整数よりも大きな整数ではない新しい元 ω を付け加えた集合とする。
このとき X は整礎だが、ω から始まる長さ有限の降鎖列でいくらでも長いものが取れる。なんとなれば、任意の正整数 n に対して
ω, n - 1, n - 2, ..., 2, 1
という鎖は長さ n を持つ。”

意味分かりますか？

　>>164より
(>>154より）
von Neumannで、自然数Nが構成できる（下記）
無限降下列
0∈1∈2・・∈N
ノイマン構成では、N＝ωです
ωが、極限順序数で、位相的に集積点（極限点）であり、任意の近傍が S の点を無限に含むということを、ご理解ください
特に、”任意の近傍が S の点を無限に含む”が理解できないのかな？
省2

173(1): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/06(日)15:56 ID:d8OQiN+r(18/27) AAS
>>154 追加

https://unaguna.jp/article/archives/15
U-naguna
シリーズ: 集合論の言葉を使おう (準備編) >
集合論の言葉による自然数の表現
(抜粋)
n の次の自然数を n∪{n} とする利点としては
・自然数 n に属するモノの個数は n となる
・自然数の大小関係 n<m が n∈m に一致する
ことが挙げられる。1つ目の方は後の記事で「個数とは何か」や「個数を数える (counting) とは何か」を定義する際に役立つ (今までなんとなく個数を数えてきたが、集合論の言葉でもう少しかっちりと定義することができる)。2つ目の方は、大小関係が集合論の記号だけで簡潔に表せるようになるという点で良い。

すべての自然数が属する集合
公理 2 (無限公理).
略
すなわち、「すべての自然数が属する集合」が存在する。
ここで注意すべきは、この公理で存在が証明されるのは「すべての自然数が属する集合」であって、「すべての自然数が属して、それ以外のモノが属さない集合」ではない。あくまで「すべての自然数が属する集合」が1つは存在すると言っているのである。

以降では「すべての自然数が属して、それ以外のモノが属さない集合」を「自然数集合」と呼び ω と書くことにする (文脈によっては N で表すことも多いだろう)。

つづく

174: 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/06(日)15:57 ID:d8OQiN+r(19/27) AAS
>>173
つづき

数学的帰納法
さて、ここで1つ根本的な問いとして「今作った ω は自然数集合として機能するのか」を問うてみる。言い換えると、「ω に属するモノだけで作られる自然数と言う構造が、素朴な意味で自然数と呼んでいるモノが担っていた役割をすべてこなせるのか」ということだ。
ただ、この問題にまじめに解答しようとしたら、先ほど棚上げした ω の存在証明に触れなくてはならない。そこで、ここでもやはり理屈を抜きにして「ω は自然数が果たすべき役割をひととおり果たせる」と結論だけ述べる。

余談
ここで用いられている自然数の定義はよく知られ用いられている。それを前提として下の記述を見てみよう。
1∈3
高校数学の知識では「3は集合ではないので ∈ の右側に 3 を書くのはおかしい」となるのであろうが、我々が採用した「すべてのモノは集合である」論理では 3 も集合として定義しているのでその指摘は当たらない。
しかも、3 は {0,1,2} (0と1と2だけが属する集合) と定義されているので 1∈3 (1は3に属する) は正しい。
この点で微妙に高校数学の集合論と公理的集合論 (とりわけ ZF 公理系や ZFC 公理系を採用する集合論) には違いがある。
(引用終り)

175(4): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/06(日)16:07 ID:d8OQiN+r(20/27) AAS
>>102 追加
＞(b) the existence, for any object a, of the singleton set {a} which has a as its sole member; and

この”for any object a, of the singleton set {a}”
は、ZFCでは、対の公理だね
a → {a}が言える

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86
対の公理
(抜粋)
性質
外延性の公理により、任意のx,yに対しその対が一意に定まる。その集合のことを{x,y}と記す。また同じく外延性より、x=yの場合における対{x,x}は一元集合{x}に等しいので、単集合の存在も導くことができる。
他の公理との関係
対の公理はZF公理系の他の公理と独立ではない。すなわち、置換公理および「濃度が2以上の集合の存在」から、任意のx,yに対する対{x,y}の存在を導ける（濃度が2以上の集合の存在については、無限公理、あるいは空集合の公理と冪集合の公理の組み合わせから導くことができる）。そのため対の公理は、公理系を記述する際に省略されることもある。

https://unaguna.jp/article/archives/14
シリーズ: 集合論の言葉を使おう (準備編) >
外延的記法 (対の公理と和集合の公理)
対の公理
公理 1 (対の公理).
∀x∀y∃z∀w[w∈z←→w=x∨w=y]
すなわち、いかなるモノ (集合) x, y についても、「x と y だけが属する集合」が存在する。
まさに書いてあるとおりで、この対の公理によって上で挙げた「1と2だけが属する集合」が存在するのである。この対の公理を使うことで、2つのモノ (集合) だけが属する集合はひととおり存在が証明される。
また、1つのモノ (集合) だけが属する集合の存在も対の公理から証明できる。というのも、対の公理では x と y が同じでないことは要求してないので、たとえば「3と3だけが属する集合」である {3,3} も対の公理により存在する。
そしてこの {3,3} と「3だけが属する集合」である {3} を比較すると、3が両方の集合に属していてそれ以外のモノはいずれにも属していないので、どちらか一方にしか属していないモノは存在しない。
よって外延性の公理より {3,3} と {3} は同じ集合である。
したがって、対の公理により {3,3} の存在が示されるということは、{3} の存在が示されるということと同義である。
(引用終り)

176: 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/06(日)16:13 ID:d8OQiN+r(21/27) AAS
>>175 補足

ツェルメロの the singleton set {a} の公理
あるいは
ZFCの対の公理より
任意のaから、{}を一つ加えた集合{a}の存在が言える
これは、当たり前のことだが、公理だから、普通に考えて、無制限（＾＾
正則性公理の無限降下列に反するだ〜？
無限降下列の意味を取り違えているでしょ！（>>160より）

180(1): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/06(日)20:18 ID:d8OQiN+r(22/27) AAS
>>175
商集合は、分出公理を使うのか
https://unaguna.jp/article/archives/25
U-naguna
シリーズ: 集合論の言葉を使おう (準備編) > 同値関係と同値類
(抜粋)
同値類
例として「偶奇という点で同じ」ことを表す同値関係を定義しよう。その場合たとえば
M={?x,y?∈ω×ω?∃z∃w[x+2z=y+2w]}
と定義すればよい (

この定義の下では xMy であることと、x+2z=y+2w を満たす自然数 z, w が存在すること (x と y が2の倍数加算の違いを除いて一致すること) が一致する。

定理 2.上で定義した関係 M は同値関係である。

M の定義文の中の 2 の部分を他の非零自然数 n に変えることで「n で割った時の余りという点で同じ」ことを表す関係も作れる。自然数同士のそのような関係は n を法とする合同関係と呼ばれる。
2 の部分を 0 にすると、aMb と a=b が一致するので、通常の「等しい・同じ」を表す関係になる。

同値類
同値類は同値関係 R によって同じと見なされるモノだけがすべて属する集合である。例えば上で例示した ω 上の同値関係 M の同値類を考えると
Mo={1,3,5,7,9,…}
Me={0,2,4,6,8,…}
という二つの同値類がある。たとえば 1M3 だから 1 と 3 は同じ同値類に属し、2M3 ではないから 2 と 3 は異なる同値類に属する。
省10

181(2): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/06(日)20:20 ID:d8OQiN+r(23/27) AAS
>>180
つづき

定義 5 (商集合).R を x 上の同値関係とする。このとき、「R による同値類がすべて属し、それ以外のモノが属さない集合」である
{y∈P(x)?∃a[a∈x∧y=[a]R]}
を商集合とよび x/R と書く。

商集合は直感的な内包的記法を使えば
{[a]⊂x?a∈x}
とも書けるだろう。こう書くほうがどのような集合かわかりやすいかもしれない (分出公理によって存在が保障されることはわかりにくいが)。

上で例示した ω 上の同値関係 M について考えると、その同値類は Mo と Me の2つであったので、商集合は
ω/M={Mo,Me}
となる。適当に代表元を定めて
ω/M={[0],[1]}
とも書ける。

http://home.p07.itscom.net/strmdrf/basic_com2.htm
数学の基礎
省6

182(1): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/06(日)20:20 ID:d8OQiN+r(24/27) AAS
>>181
つづき

　数学の議論では、変数 i を含む項 T と、集合 I があるとき、i∈I に対する T 全体からなる“集合”を考える、ということがしばしばあります。
　大抵の場合、i∈I のとき、T は i に無関係なある集合 A に属しているので、これを集合と見なすことは分出公理により正当化されるのですが、順序数の議論のような、集合論として“きわどい分野”での議論を行うときは、このような条件が成り立っていない場合があります。
　ところで、この場合の項 T は、集合 I の元 i に対してある対象 T を表しており、i に T を対応させる関数が与えられたとみなすことができます。
　そこで、集合 I の関数による像 { T | i∈I } となる集合が存在すると言う意味の置換公理：

[∀x ∀y ∀z ( ( P(x, y) ∧ P(x, z) ) → y = z ) ] → ∀a ∃b ∀y [ y∈b ⇔ ∃x ( x∈a ∧ P(x, y) )]
を仮定します。
　この公理は一見わかりにくい形をしていますが、左辺の ∀x ∀y ∀z ( ( P(x, y) ∧ P(x, z) ) → y = z ) というのは、x と y に関する関係 P(x, y) が一価関係であるということ、言い換えると、与えられた x に対して P(x, y) を満たす y を対応させる対応が x の関数になっていることを意味します。
　従って、上の置換公理の述べるところは、一価関係 P が表す関数による集合 a の像となる集合が存在する、ということを意味しています。このような集合 b は、外延性公理により唯一つであることが証明できます。

　さて、この置換公理を仮定すると、変数 y を含まない任意の命題 R に対して R ∧ x = y という命題を P(x, y) と書けば、これは明らかに一価関係です。
ゆえに、置換公理によって ∀a ∃b ∀y [ y∈b ⇔ ∃x ( x∈a ∧ R ∧ x = y ) ] すなわち ∀a ∃b ∀x [ x∈b ⇔ ( x∈a ∧ R ) ] となって、これは分出公理に他なりません。すなわち分出公理は置換公理から導出できるのです。

(引用終り)
以上

183: 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/06(日)20:24 ID:d8OQiN+r(25/27) AAS
>>181 補足
>　さて、集合の概念で、最も便利な性質、すなわち任意に命題 P が与えられたとき、P を満たす x 全体の集合、というものを考えたいのですが、これをそのまま公理にしたのでは、Russellのパラドクスにより矛盾が生じてしまいます。
>　そこで、通常の数学で、このような集合を考えたいときには、いつもどのような状況にあるかということを考えると、既に集合であることがわかっている a の元のうち、P を満たすようなもの全体からなる集合、というものを考えていることがわかります。そこで、分出公理：

思うに、分出公理とか置換公理を、あまり強力にして、なんでもできることにすると、
Russellのパラドクスのようなことを生じるおそれがある
だが、分出公理とか置換公理の力を制限すると、
選択公理のように、無限の集合を扱う公理を必要とするということだろうね（＾＾

185(4): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/06(日)20:32 ID:d8OQiN+r(26/27) AAS
>>172
>>ええ、上記いずれの場合も、第1項 a1＝ω はありますよ
>私が聞いてるのは第2項ですｗ

質問に対して、質問を返して悪いが（＾＾
１）下記の、順序数の列
　0, 1, 2, 3, . . . , ω を認めますか？ Y/N
２）もし、Yesの場合
　0, 1, 2, 3, . . . , ω で、ωの一つ左の順序数は、何ですか？あなた、答えられますか？ｗ
３）もし、Noの場合、現代数学の無限の概念を認めないということですか？ Y/N

(参考)
https://fujidig.github.io/201606-cardinal/201606-cardinal.pdf
濃度と順序数 fujidig
June 21, 2016
(抜粋)
P15
順序数というのは自然数が持つ「番号を振る」という目的を無限方向に拡張したものだといえる．
P16
・整列集合 N の型は ω と書かれる．これは最小の無限順序数である．
・順序数を小さい方から順に並べると
0, 1, 2, 3, . . . , ω, ω + 1, ω + 2, ω + 3, . . . , ω2, ω2 + 1, . . . となる
・今並べたのは順序数のうちほんの小さい部分にすぎない．もっと大きい順序数がまだまだある

186(1): 現代数学の系譜雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/06(日)20:33 ID:d8OQiN+r(27/27) AAS
>>184
　>>185

上下前次1-新書関写板覧索設栞歴

ｽﾚ情報赤ﾚｽ抽出画像ﾚｽ抽出歴の未読ｽﾚ AAｻﾑﾈｲﾙ

ぬこの手ぬこTOP 0.047s