[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 カントル 超限集合論 (1002ﾚｽ)
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230(3): 2019/10/10(木)03:44 ID:64e05J/b(1/5) AAS
>>324
違います。
Zermelo ordinal number なるものが何かまだ誰も定義していません。
Z(0)=0, Z(1)={0}, Z(2)={{}},‥‥
はいいでしょう。
そのように定義したいなら定義してもいいでしょう。
ただしコレもキチンと論理式で定義しないとだめなんですよ。
しかしココまでは難しいけどできるのは確認済みです。
問題になっているのはω番目以降です。
まだだれも
Z(ω), Z(ω+1),‥‥
を定義した人はいません。
基数の全体cardinal numberについては
x:cardinal number :⇔ x:ordinal number ∧ ∀y<x(#y≠#x)
と定義され、
よつて整列順序クラスOrdの部分クラスなので自然に整列順序集合となり、
整列写像: ℵ:Ord→Cardが定義されます。
この対応からCardの超限帰納法を用いる定義
ℵ(0) :=0
ℵ(a+1) := min{x ∈Ord | #x>#a}
ℵ(a) := min{x ∈Ord | #x>#a} (if a is a limit number)
が誘導される事がわかります。
のでこれを定義に用いる事も出来ます。
どちらも大して難しい定義ではないのでどちらを定義に採用する事もあるとは思いますが、
ポイントは超限帰納法で定義するなら後者ℵ(a+1)をℵ(x) (x≦a)で表現するだけではダメでaがlimit numberのときのℵ(a)を定めないと超限帰納法は完成しません。
あなたはaがlimit numberの場合のΩ(a)を論理式を用いて定義しなければなりません。
231: 2019/10/10(木)04:16 ID:64e05J/b(2/5) AAS
訂正
ℵ(a)=min{x| ∀y<a #x>#ℵ(y)}
です。
超限帰納法は多くの場合、後者順序数(successor ordinal number) と極限数(limit number)について別途定める必要があります。
Zermelo ordinal numberは後者順序数の場合しか定められていません。
234: 2019/10/10(木)11:19 ID:64e05J/b(3/5) AAS
>>232
もちろん過去の偉人が証明した結果はいくらでも利用してください。
その事を非難した事はありません。
既に証明されている事実はいくら使っても結構です。
その上でΩを構成してください。
235(3): 2019/10/10(木)11:35 ID:64e05J/b(4/5) AAS
>>233
結構ですよ。
証明はわからないがこんな結果はあるというなら使っていただいて結構です。
少なくとも私は順序数に符合付ける方法
Z(0),Z(1),‥,Z(ω),Z(ω+1),‥
で
Z(0)=0
Z(x+1)={Z(x)}
を満たすものの存在は否定しません。
それは超限帰納法を用いれば簡単に出来る事だし、それは学部の一回で習う当たり前の事です。
問題にしてるのはあなたが引用している内容何を使っても自動的にΩ=Z(ω)が定められたりはしないという事です。
もちろんあなた自身がそれをできなくても絶対できないというつもりはありません。
できる事の証明されはできてもできない事の証明は一般にはとても難しいからです。
ので私はΩが存在できない事を主張した事はありませんし、それをしようとも思いません。
ただこうやればできると主張する人の主張に間違いがあれば指摘はします。
もっか私はしばし待てば定義を与えるというあなたの言に従って待っている状態です。
247: 2019/10/10(木)23:14 ID:64e05J/b(5/5) AAS
これは>>245さんが正しいね
> (Thus, this infinite set must contain ∅, {∅}, {{∅}}, ….)
>The natural numbers are represented by Zermelo as by ∅, {∅}, {{∅}}, …,
>and the Axiom of Infinity gives us a set of these.
この文章は
{∅, {∅}, {{∅}}, …, }
という集合が存在することが無限公理から証明できるという意味にしか取れないね。
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