[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 カントル 超限集合論 (1002ﾚｽ)
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206(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/08(火)00:10 ID:3SQHWkr4(1/5) AAS
>>205
＞という形までしか許されません。私の>>18を見て下さい。
ああ、>>18をアップした人だったのかい？（＾＾
>たの論文なり教科書に載ってる結果を引用したいのなら構いません。
まあ、探してみるけどね
おれさ、おっちゃんみたいに、こんなバカ数学板に、ぐだぐだ記号で証明書く趣味ないんだよね
そもそもがさ、書かれた証明が初出なら、タイポとかありうるでしょ
で、真剣に読んだら、あっちにタイポ、こっちにタイポじゃ、赤ペン先生の添削やっているのと変わらんでしょ
まあ、自分が書いたら、もっと非道いだろうけどね（＾＾；
えーと、それで>>197に書いたけど
(引用開始)
じゃあ、それ、通常の自然数で、N⊂E かつ N≠Eですね
つまり、EはNに対して、真に大きい
つまり、EはNに対して、余分な元を含む
つまり、Nは全ての有限の元を含むので、任意ｎの空集合Φに対する後者関数による{}多重の集合 {・・{Φ}・・}（n回{}多重）を含むので、それ以外の余分な元を含む
それは、消去法で、有限でない元、つまり超限なる（整列したときに超限順序に属する）元ですよね
(引用終り)
省6
210(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/08(火)07:22 ID:3SQHWkr4(2/5) AAS
>>207
>> つまり、Nは全ての有限の元を含むので、
>Nが全ての有限集合を含むわけないでしょ？
？
あなたは、>>127で
(引用開始)
ω' を
0∈ω' 、n∈ω' ⇒ n+1∈ω'
を満たすものに取れる。(∵無限公理)
ωを
ω={x∈ω' | xは有限集合かつ順序数}
と置くとωは自然数全体からなる集合となる。(∵分出公理)
QED.
(引用終り)
と書かれたでしょ？
N：自然数全体からなる集合ω
でしょ？
Nには、全ての自然数ｎが含まれるでしょ？
さてそこで
ノイマン構成で、任意aの後者関数；suc(a) :=a∪{a}と定め、また、現代数学の整列順序型（下記）を借用しましょう
整列順序型E：0,1,2,・・,n,・・,ω,ω+1,ω+2,・・,ω+n,・・
整列順序型N：0,1,2,・・,n,・・
ここに、Eは>>196での無限公理によって生成された自然数以外を含む集合を表わす記号から、Nは自然数の集合を表わす記号から
整列順序型E、Nたちは、各集合の元を整列させた順序列です（なお、ω+1などは、ωの後者ですが、略記させて頂きました。以下同じ）
同じことを、ツェルメロ構成で行います。任意aの後者関数；suc(a) :={a}と定めます
整列順序型E’：0,1,2,・・,n,・・,Ω,Ω+1,Ω+2,・・,Ω+n,・・
整列順序型N’：0,1,2,・・,n,・・
E’,Ωは、上記E,ωに対応します。N’も同様
但し、ツェルメロ構成の”0,1,2,・・,n”たちは、ノイマン構成とは後者関数が違います。が、記号の濫用です
省1
211(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/08(火)07:23 ID:3SQHWkr4(3/5) AAS
>>210
つづき
ここで、現代数学の順序同型（下記）を借用しましょう
”整列順序型N’：0,1,2,・・,n,・・” は、ちょうど自然数N全体を渡り、自然数Nと順序同型です
これを認めれば、ツェルメロの整列順序型E’とノイマンの整列順序型Eとは、順序同型
全単射で、ツェルメロのΩが、ノイマンのωに対応する
よろしいでしょうか？
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E5%9E%8B
順序型
(抜粋)
整列順序型と順序数
整列集合の順序型を特に整列順序型と呼ぶ。α を順序数とし ∈α を α 上の所属関係とすると、(α, ∈α) は整列集合なので type(α, ∈α) は整列順序型である。逆に、任意の整列集合は必ずある順序数 α に対する (α, ∈α) と同型なので、整列順序型は必ずある順序数 α に対する type(α, ∈α) の形で表すことができる。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E5%88%97%E9%9B%86%E5%90%88
整列集合
省8
212: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/08(火)07:24 ID:3SQHWkr4(4/5) AAS
>>211
つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
順序数
(抜粋)
順序数の大小関係に関して次が成り立つ：
5.順序数からなる空でない集合には必ず最小元が存在する。
順序数の並び方を次のように図示することができる：
0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ............, ω + ω, S(ω + ω), S(S(ω + ω)), S(S(S(ω + ω))), ..............................
まず、0 が最小の順序数である。その後に S(0) = 1, S(S(0)) = 2, S(S(S(0))) = 3, ... と有限順序数（自然数）が通常の順序で並んでいる。
そして、すべての自然数が並び終えると、次に来るのが最小の超限順序数 ω である。ω の後にはまたその後続者たちが S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ... と無限に続いていく。
(引用終り)
以上
213: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/08(火)07:34 ID:3SQHWkr4(5/5) AAS
>>211 追加引用
下記の和積が、通常の演算と同じなんでしょうね、多分（＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E5%9E%8B
順序型
(抜粋)
5 順序型の演算
5.1 和
5.2 積
順序型の演算
順序型には和と積の演算を定義することができる。
和
ρ, σ を順序型とする。 全順序集合 (A, <A), (B, <B) を type(A, <A) = ρ, type(B, <B) = σ, A ∩ B = Φ をみたすように取り、A ∪ B 上の関係 <A +* <B を、
x (<A +* <B) y ⇔ x <A y または x <B y または <x, y> ∈ A × B
によって定義すれば、(A ∪ B, <A +* <B) は全順序集合であり、その順序型は (A, <A), (B, <B) の特定の取り方によらず一定である。そこで type(A ∪ B, <A +* <B) を ρ と σ の和といい、これを ρ + σ で表す。
直観的には、ρ + σ というのは (A, <A) の後ろに (B, <B) を並べてできる全順序集合の順序型である。
省13
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