[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 カントル 超限集合論 (1002ﾚｽ)
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180(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/06(日)20:18:43.44 ID:d8OQiN+r(22/27) AAS
>>175
商集合は、分出公理を使うのか
https://unaguna.jp/article/archives/25
U-naguna
シリーズ: 集合論の言葉を使おう (準備編) > 同値関係と同値類
(抜粋)
同値類
例として「偶奇という点で同じ」ことを表す同値関係を定義しよう。その場合たとえば
M={?x,y?∈ω×ω?∃z∃w[x+2z=y+2w]}
と定義すればよい (
この定義の下では xMy であることと、x+2z=y+2w を満たす自然数 z, w が存在すること (x と y が2の倍数加算の違いを除いて一致すること) が一致する。
定理 2.上で定義した関係 M は同値関係である。
M の定義文の中の 2 の部分を他の非零自然数 n に変えることで「n で割った時の余りという点で同じ」ことを表す関係も作れる。自然数同士のそのような関係は n を法とする合同関係と呼ばれる。
2 の部分を 0 にすると、aMb と a=b が一致するので、通常の「等しい・同じ」を表す関係になる。
同値類
同値類は同値関係 R によって同じと見なされるモノだけがすべて属する集合である。例えば上で例示した ω 上の同値関係 M の同値類を考えると
Mo={1,3,5,7,9,…}
Me={0,2,4,6,8,…}
という二つの同値類がある。たとえば 1M3 だから 1 と 3 は同じ同値類に属し、2M3 ではないから 2 と 3 は異なる同値類に属する。
省10
275(8): 2019/10/12(土)08:10:24.44 ID:Ty9mG3gK(1/4) AAS
>>272
では
{n | ∃xn‥∈ x3∈ x2∈x1, Ω=x1}
には最大値が存在してしまうのでは？
∵) 最大値がないとする。
任意にmをとるとき長さmの列
xmn‥∈ xm3∈ xm2∈xm1, Ω=xm1
が存在するが
全てのm,l≧1でΩ=xm1=xl1なのでこれをx1とおく。
全てのm≧2でxm2∈x1、x1はsingletonなのでxm2は共通。これをx2とおく。
全てのm≧3でxm3∈x2、x1はsingletonなのでxm3は共通。これをx3とおく。
‥‥
この時‥‥x3∈x2∈x1は無限降鎖列により正則性公理に矛盾。□
正則性公理は外せないけどもう少しうまくやればACも外せるし。
299: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/12(土)15:51:09.44 ID:0oc9Ztsl(21/28) AAS
>>227
>・順序対 (x,y)と集合 {{x},{x,y}}との同一性。
追加
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E5%AF%BE
順序対
(抜粋)
目次
1 一般論
2 直観的な定義
3 集合論による順序対の定義
3.1 ウィーナーの定義
3.2 ハウスドルフの定義
3.3 クラトフスキーの定義
3.4 クワイン?ロッサーの定義
3.5 カントール?フレーゲの定義
3.6 モースの定義
4 圏論
一般論
数学の広範な分野において記号 (a, b) はざまざまな意味で用いられ、そうしたものの中で顕著な例はたとえば実数直線上の開区間を挙げることができるだろう。記号の意味は文脈に完全に依存しており、意味を取るためには文脈に注意しなければならない
直観的な定義
門書の類いにおいては、順序対の定義としてやや不正確だが直観的に
二つの対象 a, b に対し、順序対 (a, b) とは、対象 a, b をこの順番で指定する記法である[3]
というような形で与えるものがある。
このような「定義」は、記述的に与えられたにすぎず、また並べる「順番」というのも直観的に与えられたものでしかないから、厳密な意味での定義と呼ぶには不十分である。
もっともよく用いられるのがカシミール・クラトフスキーによるもの（後述）であり、その定義は1970年に出版されたブルバキ『集合論』の第二版で用いられた。順序対を直観的に導入する教科書でも、クラトフスキーによる厳密な定義に演習問題の中で言及するといったものも少なくない。
集合論による順序対の定義
クラトフスキーの定義
Kuratowski (1921) は今日的に広く受け入れられている順序対 (a, b) の定義[5][注 4]
省6
613(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/12/06(金)07:58:52.44 ID:eTcHIROk(3/3) AAS
>>609
超限帰納法は関係ないよ
だって、公理（無限公理で与件）だもの（＾＾；
634: 2019/12/07(土)15:21:11.44 ID:DlHZa83T(2/7) AAS
バカ曰く「0,1,2,…という列はいずれNに達する」
まともな人曰く「Nは自然数ではなく自然数全体の集合です」
651: 2019/12/07(土)16:30:53.44 ID:r8l5YtX/(4/21) AAS
>>28
ではないです。
F(X)と表記した記憶があります。
739(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/12/14(土)15:14:38.44 ID:s6Tab8iq(9/15) AAS
（＾＾；
「∈列 有限長」ｗｗ
おサル＝ID:uZFmzNJe は、恥かき
”「集合のいかなる∈列も有限長で終わる」
というのが正則性公理ですから”ｗｗ
(>>636より)
Inter-universal geometry と ABC予想 42
2chｽﾚ:math
701 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2019/12/07(土) ID:uZFmzNJe [3/3]
>>697
＞正則性公理には反してませんよ、ZFCに反してませんよと強調したかった
しかし∈-loopsは、正則性公理とは矛盾しますけどね
「集合のいかなる∈列も有限長で終わる」
というのが正則性公理ですから
（それゆえ「基礎の公理」とも呼ばれる）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E7%A4%8E%E9%96%A2%E4%BF%82
整礎関係
(抜粋)
数学において、二項関係が整礎（せいそ、英: well-founded）であるとは、真の無限降下列をもたないことである。
定義
集合あるいはクラス X 上の二項関係 R が整礎であるとは、X の空でない任意の部分集合 S が R に関する極小元を持つことをいう[1]。
省10
747(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/12/14(土)21:58:33.44 ID:s6Tab8iq(11/15) AAS
>>743
>ωから降下していく場合、いきなり何かある自然数ｎに降下するから
おサルの墓穴は、笑えるわｗ
下記の
”定義 2.2
（ X, =< ）を全順序とする。Xに無限降下列
a0 > a1 > a2 > ・・・ (ai ∈ X)
が存在しないとき、（ X, =< ）を整列順序という。
別の言い方をすれば、整列順序とは空でないどんな部分集合 Y ⊆ X も最小元を持つよう
な全順序のことである。”
を、熟読しなよ、あほサル（＾＾；
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/ja/zengaku-18.html
全学共通科目「現代の数学と数理解析」
数理解析研究所教員によるリレー式講義 （２０１８年度）
省23
768: 2019/12/15(日)01:27:26.44 ID:WYNNIsFE(11/12) AAS
マッスーずがタヒんじゃったよ〰！💧
914(1): 2019/12/20(金)05:52:09.44 ID:ylfrCRaM(1/10) AAS
>>908-909
◆e.a0E5TtKEは証明どころか用語の定義の文章も理解できない白痴
945(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/12/20(金)21:20:50.44 ID:ZaXFXilg(1/5) AAS
>>934
おサルの数学は面白いわ（＾＾
（>>794より）
<Zermelo構成>
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0
自然数
(抜粋)
形式的な定義
自然数の公理
集合論において標準的となっている自然数の構成は以下の通りである。
空集合を 0 と定義する。
0:=Φ ={}
例えば、0 := {}, suc(a) := {a} と定義したならば、
0 := {}
1 := {0} = {{}}
2 := {1} = {{{}}}
3 := {2} = {{{{}}}}
と非常に単純な自然数になる。
(引用終り)
この後を続けると
n := {n-1} = {・・{0}・・} （0のn重シングルトン）
・
・
ω:（0の可算無限重シングルトン）
ω+1:= {ω}（ωの1重シングルトン）
ω+2:= {ω}（ωの2重シングルトン）
ω+3:= {ω}（ωの3重シングルトン）
となる
これが一番自然でしょ（＾＾
省15
949: 2019/12/20(金)21:38:49.44 ID:ylfrCRaM(9/10) AAS
＞おサルの主張は、
＞「”ω：（0の可算無限重シングルトン）”と考えると
＞ ”ωから、無限降下列が構成される”から、正則性公理に反する」
＞ということだったろ？
嘘 妄想
「”ω：（0の可算無限重シングルトン）”と考えると
ωー1が存在することになり、ωが極限順序数であることに反する」
が正しい
◆e.a0E5TtKE は卑怯卑劣なウソツキ
ガソリンで焼かれて死にやがれ 大阪のゴキブリ
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