[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 カントル 超限集合論 (1002ﾚｽ)
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17(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/05(土)11:12:36.05 ID:JrhjRl4x(9/46) AAS
>>8
ID:kZwmbLNIさん、どうも
お付き合い頂きありがとうございます（＾＾
「古典ガロア理論も読む」は削除、雑談は残しました
あなたくらいまともなレベルで議論できる人が、いまの５CH数学板には居なくなりましたね（＾＾
よろしくお願い致します
なお、繰返しますが、適度にやりましょう
それから、これも繰り返しですが
５CH数学板では、書けない数学記号（高度なやつ）が結構あるので
お互い、どこかのテキストにあって、ネットから確認できる合意文献は
お互い認めることにしましょうね
（数学記号制限ありで、字数や行数制限ありの板では、外の世界の数学と同様の数学の議論は無理ですから。本当なら、板書とか図とか書きたいのですがね（＾＾ ）
173(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/06(日)15:56:48.05 ID:d8OQiN+r(18/27) AAS
>>154 追加
https://unaguna.jp/article/archives/15
U-naguna
シリーズ: 集合論の言葉を使おう (準備編) >
集合論の言葉による自然数の表現
(抜粋)
n の次の自然数を n∪{n} とする利点としては
・自然数 n に属するモノの個数は n となる
・自然数の大小関係 n<m が n∈m に一致する
ことが挙げられる。1つ目の方は後の記事で「個数とは何か」や「個数を数える (counting) とは何か」を定義する際に役立つ (今までなんとなく個数を数えてきたが、集合論の言葉でもう少しかっちりと定義することができる)。2つ目の方は、大小関係が集合論の記号だけで簡潔に表せるようになるという点で良い。
すべての自然数が属する集合
公理 2 (無限公理).
略
すなわち、「すべての自然数が属する集合」が存在する。
ここで注意すべきは、この公理で存在が証明されるのは「すべての自然数が属する集合」であって、「すべての自然数が属して、それ以外のモノが属さない集合」ではない。あくまで「すべての自然数が属する集合」が1つは存在すると言っているのである。
以降では「すべての自然数が属して、それ以外のモノが属さない集合」を「自然数集合」と呼び ω と書くことにする (文脈によっては N で表すことも多いだろう)。
つづく
386(1): ID:1lEWVa2s 2019/10/13(日)19:32:28.05 ID:87Wfcy4Z(3/11) AAS
あと隔離室一ヶ月のとき赤と青のカプセル飲まされそうだった
502(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/11/27(水)21:18:14.05 ID:qnEhNItW(7/12) AAS
>>501
つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86
ペアノの公理
(抜粋)
一階述語論理で定式化されたペアノの公理は、無数の超準モデルを持つ。（レーヴェンハイム＝スコーレムの定理） 二階述語論理によって定式化することで、ペアノシステムを同型の違いを除いて一意に定めることができる[2]。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0
自然数
(抜粋)
以上の構成は、自然数を表すのに有用で便利そうな定義を選んだひとつの結果であり、他にも自然数の定義は無限にできる。これはペアノの公理を満たす後者関数 suc(a) と最小値の定義が無限に選べるからである。
例えば、0 := {}, suc(a) := {a} と定義したならば、
0 := {}
1 := {0} = {{}}
2 := {1} = {{{}}}
3 := {2} = {{{{}}}}
と非常に単純な自然数になる。また、0 := {{}}, suc(a) := a ∪ {a} と定義したならば、
省7
508(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/11/28(木)00:22:27.05 ID:QdpmOFrx(1/7) AAS
>>504 追加
https://en.wikipedia.org/wiki/Finite_set
Finite set
(抜粋)
Necessary and sufficient conditions for finiteness
In Zermelo?Fraenkel set theory without the axiom of choice (ZF), the following conditions are all equivalent:[citation needed]
2.(Kazimierz Kuratowski) S has all properties which can be proved by mathematical induction beginning with the empty set and adding one new element at a time. (See below for the set-theoretical formulation of Kuratowski finiteness.)
Set-theoretic definitions of finiteness
省3
690(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/12/08(日)08:30:26.05 ID:lCvi6NdQ(1/2) AAS
>>686
>「有限重シングルトンの全体からなる無限集合」を
>「シングルトンの無限列」と誤読した
１．無限公理を適用して、全ての後者関数を含む無限集合の存在を認める
２．そうすると、無限集合はできるが
このままでは、過剰な後者を含んでいる
欲しいのは、ジャスト自然数の集合N
３．従って、自然数集合Nには不要な、過剰な後者を取り除きます
（要は、無限集合の最小の集合が自然数の集合Nです。無限集合たちの共通部分を取るのでしたね。詳しくは、自然数のノイマン構成のテキストでも見て下さい（過去レスでも書きましたが））
４．で、１〜３は、ツェルメロ構成の後者関数 an=suc(an-1)={an-1}を使って同じことができる
５．私が、>>684で言っていることは、
自然数集合Nに不要な過剰な後者の中に、順序数ωに相当する可算多重シングルトンが存在する
ということですよ
QED（＾＾
764(1): 2019/12/15(日)01:07:31.05 ID:WYNNIsFE(7/12) AAS
限り無く０に近いが決して０では無い
有限数
と
限り無く∞に近いが決して∞では無い
有限数
って一致してませんか？
熱力学的には『特異点』なんでは？
813: 2019/12/16(月)13:27:51.05 ID:kcqXf4G0(4/4) AAS
助けて。。。ＲＨが解らない。。。
助・け・て。。。
994: 2019/12/21(土)10:58:50.05 ID:RiKZpZyq(13/15) AAS
>>991
確かに{{…(無限回)…}}は、正則性公理に反する
し・か・し、それ以前にそもそも前者が存在する時点でオカシイ
Ωが無限個の要素を持つのは、要素中の極大値が存在しないから
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