[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）12 (1002ﾚｽ)
上下前次1-新
このｽﾚｯﾄﾞは過去ﾛｸﾞ倉庫に格納されています｡
次ｽﾚ検索 歴削→次ｽﾚ 栞削→次ｽﾚ 過去ﾛｸﾞﾒﾆｭｰ
22: わかるすうがく ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/23(金)04:29 ID:vjYMqzPx(1/5) AAS
>>21
君、石井本の第6章「根号で表す」の
9節 「ピークの定理に立とう」は読んだかい？
確かに
「Q上の方程式f(x)=0の最小分解体をLとしたとき、Gal(L/G)が巡回群⇒
基礎体をQ(ζ)としたときのGによる拡大体L(ζ)はベキ根を含む」
となる
で、L(ζ)=L、つまりL自体にζが含まれる時、
その時に限り、Lにベキ根a^(1/n)が含まれる
しかし、一般にζはLに含まれない、したがってその場合
省8
23: わかるすうがく ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/23(金)04:45 ID:vjYMqzPx(2/5) AAS
雑談 ◆yH25M02vWFhP クンは
>>18の質問に答えられなかったね
答え書いとくから読んでね
A1．4 Φ5=(x^5-1)/(x-1)の次数が4だから
A2．4 Φ5の根が4つだから、根の巡回置換も4つ
A3．例えば以下のσによりGal(Q(ζ)/Q)は生成される
σ(ζ)=ζ^2、
σ(ζ^2)=(ζ^2)^2=ζ^4 （※ζ^3=ζ*ζ^2ではない！）
σ(ζ^4)=(ζ^4)^2=ζ^8=ζ^3 （ζ^5=1だから）
省6
24(1): わかるすうがく ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/23(金)04:54 ID:vjYMqzPx(3/5) AAS
>>20のコメントはトンチンカンだな
「なぜガウスの息子が数学者にならなかったか」という問いに対して
職業数学者の発祥を答えてるから
ついでにいうと、ベルヌーイ一族はガウスより前の人達である
25(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/23(金)08:20 ID:IWsCfSx6(1) AAS
>>21 補足
いま、この方程式
x^5 + 6 x^4 - 12 x^3 - 32 x^2 + 16 x + 32=0
の左辺は
Π_{k=1}^{5}(x-1/cos(2kπ/11)).
（方程式のガロア群は5次の巡回群であり、代数解法が可能）
ここで、体の拡大を図示すると
Q(α) Q(a^(1/5),ζ)
↑ ↑
Q－－－→Q(ζ)
省11
26(1): ◆nu1CsB1UiBUP 2022/12/23(金)09:26 ID:5Ltcg3OO(1) AAS
>>25
>なかなか、面白い例ですね
まったくつまらんコメントだな
27(4): 2022/12/23(金)10:23 ID:qv9xcCDl(1) AAS
>>24
数学者じゃなくて科学者ね。
だいたいガウスを純粋数学の研究者としてしか見ないほうがアレでしょ。
28(1): 2022/12/23(金)11:09 ID:t8Xe5Ug0(1) AAS
>>27
>>ガウスを純粋数学の研究者としてしか見ない
それは論外
文系でさえデカルトを哲学者としてしか見ないことはない
29: 2022/12/23(金)11:37 ID:k1PKOWrp(1/2) AAS
>>28
>>ガウスを純粋数学の研究者としてしか見ない
>文系でさえデカルトを哲学者としてしか見ないことはない
「なぜガウスの息子が数学者にならなかったか」と全然関係ないな
30(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/23(金)11:41 ID:QNRnWOpa(1/4) AAS
>>27
>数学者じゃなくて科学者ね。
>だいたいガウスを純粋数学の研究者としてしか見ないほうがアレでしょ。
そうそう
同意同意
ガウスの時代、数学とその周辺の自然科学は工学とは未分化だった
実際、日本でも昔は、日本数学物理学会と称して、物理と数学は一体の学会で
工学とも未分化で
フランス エコールポリテクニーク（工芸学校と称する本もある）は、フランス革命の軍事上の必要から総説されたという
なお、ガロアが受験で不合格になった学校でもある
省11
31(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/23(金)11:42 ID:QNRnWOpa(2/4) AAS
>>30 タイポ訂正
ガウスの時代、数学とその周辺の自然科学は工学とは未分化だった
↓
ガウスの時代、数学とその周辺の自然科学や工学とは未分化だった
32(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/23(金)11:45 ID:QNRnWOpa(3/4) AAS
>>30 タイポ訂正追加
フランス エコールポリテクニーク（工芸学校と称する本もある）は、フランス革命の軍事上の必要から総説されたという
↓
フランス エコールポリテクニーク（工芸学校と称する本もある）は、フランス革命の軍事上の必要から創設されたという
33: 2022/12/23(金)11:58 ID:k1PKOWrp(2/2) AAS
>>30-32
ラグランジュの分解式は理解できたかい？
34(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/23(金)14:38 ID:QNRnWOpa(4/4) AAS
戻る
前スレ
2chｽﾚ:math
より
(参考)
https://mathlog.info/articles/3161
Mathlog
子葉
1の冪根をたくさん求めてみた(解説付き)
目次
省38
35(1): わかるすうがく ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/23(金)17:15 ID:vjYMqzPx(4/5) AAS
>>34
1の冪根をたくさん求めてみた(解説付き)
https://mathlog.info/articles/3161
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
n=11のとき
cos(2π/11)＝1/10{-1+(α++)^1/5+(α-+)^1/5+(α--)^1/5+(α+-)^1/5}
(α±±＝-1/14{89+-25(5^1/5)±(410-+178√5i)^1/5}
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
3行目が誤り
正しくは以下の通り
省28
36: わかるすうがく ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/23(金)17:34 ID:vjYMqzPx(5/5) AAS
なんで、ラグランジュの分解式がベキに結び付くかといえば
β1(α0)=α0+α1η+α2η^2+α3η^3+α4η^4
σ(β1(α0))
=β1(σ(α0))
=σ(α0)+σ(α1)η+σ(α2)η^2+σ(α3)η^3+σ(α4)η^4
=α1+α2η+α3η^2+α4η^3+α0η^4
=η^(-1)*(α0+α1η+α2η^2+α3η^3+α4η^4)
=η^(-1)*β1(α0)
になるからだぞ
（ηの逆数を掛けることで巡回する)
省3
37(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/24(土)00:08 ID:WMwnzEw8(1/6) AAS
>>35
おっ、ありがとう
あんたも、たまに良いことをいうね
>β1^5＝-11/4{89+25√5+5√(410-178√5i)}
>β2^5＝-11/4{89-25√5+5√(410+178√5i)}
>β3^5＝-11/4{89-25√5-5√(410+178√5i)}
>β4^5＝-11/4{89+25√5-5√(410-178√5i)}
>で、５乗根の中身が全部計算されてんじゃん
なるほど、なるほど
なお、ポイントは冒頭の
省32
38(2): 聖ニコラス 2022/12/24(土)05:19 ID:tBAGAWoe(1/8) AAS
メリークリスマス！
みんなよいコにしてたかな？
>>37
ほう、雑談がお礼をいうのは珍しい
雪でも降るんじゃないだろうか？
さて
＞ポイントは冒頭の
＞「β1^5,β2^5,β3^5,β4^5∈Q(ζ5)となることが知られており」
＞のところだ
それ、実例がまさに石井本のp412-421に書いてあるけどな
省29
39: 聖ニコラス 2022/12/24(土)05:22 ID:tBAGAWoe(2/8) AAS
もうね、雑談クンは、数学板に書くヒマがあったら
石井本を頭から丁寧に読んだほうが
よっぽど数学が分かるようになるよ
インプットしてない人が
アウトプットしたがっても
つまらんことしか言えんから
40(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/24(土)08:51 ID:WMwnzEw8(2/6) AAS
>>37 訂正と追加
訂正
β1,β2,β3,β4∈Q(ζ5)
↓
β1,β2,β3,β4∈Q(a^1/5,ζ5)
追加
要するに、あるaが存在して、クンマー拡大 Q(a^1/5,ζ5)で
β1,β2,β3,β4∈Q(a^1/5,ζ5)と出来るかってこと
（a∈Q(ζ5)）
a∈Q(ζ5)が見つかれば、
省2
41(1): 聖ニコラス 2022/12/24(土)09:10 ID:tBAGAWoe(3/8) AAS
>>40
>要するに、あるaが存在して、クンマー拡大 Q(a^1/5,ζ5)で
>β1,β2,β3,β4∈Q(a^1/5,ζ5)と出来るかってこと
>（a∈Q(ζ5)）
aは一つじゃないけど
つまり、η、η^2、η^4、η^3 の巡回ρによって生成される
ρ(a)、ρ^2(a)、ρ^3(a) の 5乗根も追加される
それも 石井本の9 ピークの定理に立とうの定理6.9(p481-486)に書いてある
証明全部読みなよ 全部書いてあるから
上下前次1-新書関写板覧索設栞歴
あと 961 ﾚｽあります
ｽﾚ情報 赤ﾚｽ抽出 画像ﾚｽ抽出 歴の未読ｽﾚ AAｻﾑﾈｲﾙ
ぬこの手 ぬこTOP 0.027s