[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）11 (1002ﾚｽ)
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671(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/11(日)23:14 ID:KrqrphNa(18/19) AAS
>>658 追加
> ３）上記 x^5 + 6 x^4 - 12 x^3 - 32 x^2 + 16 x + 32=0は
> 下記 chiebukuro.yahoo
> 32x^5+16x^4-32x^3-12x^2+6x+1=0
> と係数の並びが逆だね（本質的には同じだろう）
1）上記二つの方程式は、逆数の関係で、
前者がcos(2kπ/11)、後者が1/cos(2kπ/11)で
ほぼ自明だが、x=1/yと置いて、前者に代入すると
(1/y)^5 + 6 (1/y)^4 - 12 (1/y)^3 - 32 (1/y)^2 + 16 (1/y) + 32=0
ここで、y^5を掛けて整式に直すと
省12
672(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/11(日)23:16 ID:KrqrphNa(19/19) AAS
>>671
つづき
3）複素平面の上半部にk=1～5
複素平面の下半部にk=6～10
があって、上下対称で、共役複素数のペアが存在する
例えば、e^2kπ/11=cos2kπ/11+sin2kπ/11とe^-2kπ/11=cos2kπ/11-sin2kπ/11
e^2kπ/11+e^-2kπ/11＝2cos2kπ/11が出る
4）x^11 -1=0（つまり上記の10次方程式）を解けば、cos2kπ/11が得られるが
共役複素数のペアが存在するから、上半部のk=1～5だけで、5次の実係数方程式が得られるってことか
なかなか面白い仕掛けですね
省14
673(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/12(月)00:17 ID:qR3y03w/(1/6) AAS
>>672 追加
> 共役複素数のペアが存在するから、上半部のk=1～5だけで、5次の実係数方程式が得られるってことか
位数10の巡回群>>671の半分の5個だけ使うから、位数5の巡回群だね
そして、>>659より"（ラグランジュの）リゾルベント（分解式）である。以下k=0,1,2,3,4とする。
r(α,k)=α+ζk5σ(α)+ζ2k5σ2(α)+ζ3k5σ3(α)+ζ4k5σ4(α)"
を使うならば、
この時点で基礎体はQではなくQ(ζ5)に変わっている(ζ5は1の5乗根のうちの原始根)
さて
いまの場合、cos(2kπ/11)をべき根で表すときに、何かの5乗根が必要か？
>>660 の公式 （>>659 https://period-mathematics.はてなブログ.com/entry/2019/05/04/194452 Period-Mathematics 2019-05-04 巡回多項式を代数的に解く より）
省14
678(2): 2022/12/12(月)07:24 ID:o5L78qQF(1/10) AAS
>>673
>位数10の巡回群>>671の半分の5個だけ使うから、位数5の巡回群だね
部分群じゃなくて剰余群なんだよ。ガロア理論で考えれば分かるけど。
>なので、何かの5乗根は、x^11 -1=0 による拡大体には含まれるんじゃないかな？
だから、含まれないって言ってるでしょ。
何かの5乗根にガロア群を作用させるとζ_5が出てくる。
ζ_5はQ(ζ_11)には含まれないから矛盾する。
679(1): 2022/12/12(月)07:25 ID:TUjlnc/t(4/15) AAS
>>671
＞(Z/nZ)×の乗法群
乗法群(Z/nZ)×でいいんじゃね？
一応、1に質問
・(Z/nZ)の要素と加法と(Z/nZ)×の要素と乗法を、それぞれ説明せよ
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