[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）11 (1002ﾚｽ)
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548(1): 2022/12/10(土)09:06 ID:dZ9h00o/(1/11) AAS
>>536
>１）いま、簡単にQ係数の既約5次方程式で重根を持たず、べき根で解けるものを取ったとする
> 根α1,α2,α3,α4,α5 が、代数的に独立とする
「代数的に独立」の意味が分かってないね。
代数的関係があれば代数的に独立ではない。
特に代数的数同士は代数的に独立ではない。
超越数とか不定元なら、代数的に独立になる。
だから多分、「根たちが不定元だ」と言いたいのだろう。
しかしその場合、基礎体はQに方程式の係数（つまり根たちの基本対称式）
を添加しなければならない。
省5
552(1): 2022/12/10(土)09:24 ID:dZ9h00o/(2/11) AAS
>「代数的に解くというのは
> ラグランジュのリゾルベントを反復適用する
> ってこと」
これは完全に正しいよ。
1がなぜ数学が出来ないか？
自分の頭で考えないから。
564(7): 2022/12/10(土)12:24 ID:dZ9h00o/(3/11) AAS
ξをn次巡回方程式の根として、αを適切なn乗根として
ξ=a_0+a_1α+ … +a_{n-1}α^{n-1}
とあらわせる。これって要するにフーリエ級数展開ですよね。
ガロア群G（巡回群）⇔ R/Z
α^k ⇔ 固有函数 exp(2πikx)
a_k ⇔ フーリエ係数
という対応関係。
ラグランジュリゾルベントは、フーリエ係数の積分計算に対応する。
（正確には、係数a_kではなく、n a_kα^k が計算される。）
いずれにしても「直交関係」を利用しているわけ。
567: 2022/12/10(土)14:48 ID:dZ9h00o/(4/11) AAS
>>564
一点だけ。
「ガロア群G上の函数」が定義されてませんでしたね。
これは「Gが作用している体Kの数」になります。
σ∈G, ξ∈K に対して
σ(ξ)と作用するわけですが、これを逆に見て
σ(ξ)を函数ξのG上の値 と見ればOK.
つまり、ξ(σ)とも書けますね。ξ(e)=ξ.
（通常は、ξ^σ のように書く。）
574(2): 2022/12/10(土)15:55 ID:dZ9h00o/(5/11) AAS
>つまり、既約で可解な5次方程式の最小分解体 Q(a1,a2,a3,a4,a5)には、方程式の係数から決まるある無理数a^(1/5)が含まれる
>>570
だから、それが間違ってるって最初から言ってるじゃん。
Q(a1,a2,a3,a4,a5)/Q がガロア拡大であり、かつa^(1/5)が含まれるなら
a^(1/5)の「共役」もすべて含まれなければならない。（ガロア拡大の定義から。）
これはQ(a1,a2,a3,a4,a5)が実の体であれば矛盾する。
したがって、a^(1/5)は「含まれない」
576: 2022/12/10(土)16:03 ID:dZ9h00o/(6/11) AAS
1はa^(1/5)にガロア群がどう作用するかも分かってない？
σ(a^(1/5))=ζ_5の何とか乗×a^(1/5) のように作用する。
これが固有函数 exp(2πikx) と同じ性質なわけ。
590(1): 2022/12/10(土)19:30 ID:dZ9h00o/(7/11) AAS
>>589
>２）最小分解体分かってますか？
> ガロア拡大がなんですと？
> 混乱しているように見えるのは私だけかな？
>３）Q(a1,a2,a3,a4,a5)は、最小分解体でありましてガロア拡大ではないよね
標数0の場合「基礎体上のある方程式の根」をすべて添加したらガロア拡大になる。
最小分解体とは既約方程式が1次式の積に分解している最小の体だから、ガロア拡大。
そんなことも分からないバカ野郎ｗ
591: 2022/12/10(土)19:41 ID:dZ9h00o/(8/11) AAS
巡回方程式の根のべき根表示（フーリエ級数展開）
(1) ξ=a_0+a_1α+ … +a_{n-1}α^{n-1}
において、Q(ξ)の体にαが含まれるための必要十分条件は
Q(ξ)に1の原始n乗根ζ_nが含まれること。
それはラグランジュリゾルベントの計算を考えてみれば明らか。
逆に言えば、Q(ξ)にζ_nが含まれなければ
αはQ(ξ)には含まれない。それは表示式(1)と
まったく矛盾しない。
592: 2022/12/10(土)19:50 ID:dZ9h00o/(9/11) AAS
別の言い方をすると、巡回方程式の
根のべき根表示を得るにはクンマー拡大を経由する
基礎体にζ_nが含まれていなければ
少し大きい体を経由するする必要があるってこと。
593: 2022/12/10(土)19:58 ID:dZ9h00o/(10/11) AAS
>>372から言ってることが一貫してるでしょ？
601(2): 2022/12/10(土)23:22 ID:dZ9h00o/(11/11) AAS
>>594
>「”1の原始5乗根”の必要性 ＝不還元の話 だ」と諭してやった”
不還元の話って、実の根に対してべき根の中身が実数に出来るか？て話でしょ。
Q(ζ_5)は実2次体を含んでいる。
”1の原始5乗根”の必要性とは違うと思う。
還元可能な場合だって、ガロア群を作用させるとζ_5が出て来るんだよ。
もしかして知らなかった？
この事実からしても「1の原始5乗根”の必要性 ≠不還元の話」だね。
1はテキストを斜め読みして、関係ありそうなことをピックアップするというアホなことやってるから、おかしな出力になる。
「不還元の話」は関係ありそうだと思って書いたんだろうが、本質に関わらない蛇足だね。
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