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純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）11 (1002ﾚｽ)
純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）11 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1659249925/
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535: １３２人目の素数さん [] 2022/12/10(土) 07:56:13.63 ID:meH3MbbN ところで、このスレッドの名前を12から 「数学とその適用」に変更することを提案します http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1659249925/535
536: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2022/12/10(土) 07:58:21.11 ID:898jbfXT >>520 どうも スレ主です ご指摘ありがとう 確かに、皆さんにご指摘の通りで、「代数的に独立」という用語が、全く不適切でした よって >>450の書き直し下記 >>431 戻る (引用開始) １）>>391 「では、>>372の方程式の最小分解体にζ_5が含まれるか否か分かりますかね？ 一般的な話として、可解な5次方程式でもいいですが。 つまり、5乗根を取る操作をガロア拡大（クンマー拡大） にするなら、ζ_5は必然的に含まれますが 最小分解体（方程式が一次式の積に分解する最小の体） には含まれるか否か？って質問です。」 (引用終り) １）いま、簡単にQ係数の既約5次方程式で重根を持たず、べき根で解けるものを取ったとする 根α1,α2,α3,α4,α5 が、代数的に独立とする ２）下記 最小分解体の定義より、最小分解体は、Qに根α1,α2,α3,α4,α5を添加して Q(α1,α2,α3,α4,α5)と書ける ３）いま、ζ_5が、Q(α1,α2,α3,α4,α5)に含まれないならば（そしてそれが普通だが） ζ_5 not∈Q(α1,α2,α3,α4,α5) だよね ４）繰り返すが、{α1,α2,α3,α4,α5}たちが全て実根ならば、ζ_5 not∈Q(α1,α2,α3,α4,α5) だし 仮に、{α1,α2,α3,α4,α5}に虚数根が含まれても、ζ_5がそれら虚数根を含む最小分解体に含まれないならば ζ_5 not∈Q(α1,α2,α3,α4,α5) であり、そのような場合こそ普通だろ ５）なので、果たして彼は、 この問い「>>372の方程式の最小分解体にζ_5が含まれるか否か分かりますかね？」 で何を問いたかったのか？ 意味が分からない 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1659249925/536
537: １３２人目の素数さん [] 2022/12/10(土) 07:59:54.67 ID:meH3MbbN 純粋数学と応用数学があるのではなくて、数学というものがあって、 それを諸問題の解決へ適用する事例がある、という認識です http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1659249925/537
538: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2022/12/10(土) 08:00:18.44 ID:898jbfXT >>536 タイポ訂正 根α1,α2,α3,α4,α5 が、代数的に独立とする ↓ 根α1,α2,α3,α4,α5 とする http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1659249925/538
539: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2022/12/10(土) 08:01:06.76 ID:898jbfXT >>535 自分でスレ立てな http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1659249925/539
540: １３２人目の素数さん [] 2022/12/10(土) 08:12:21.33 ID:meH3MbbN >>536 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP さん おはようございます ＞Q係数の既約5次方程式で重根を持たず、べき根で解けるものを取ったとする ＞根α1,α2,α3,α4,α5 が、代数的に独立とする 「Q係数の既約5次方程式で重根を持たず、べき根で解けるもの」から 「根α1,α2,α3,α4,α5 が、代数的に独立」がいえますか？ もし、独立と云えないなら ＞最小分解体の定義より、最小分解体は、 ＞Qに根α1,α2,α3,α4,α5を添加してQ(α1,α2,α3,α4,α5)と書ける について 「最小分解体は、（根α1,α2,α3,α4,α5 が、代数的に独立であるから） Qに５根α1,α2,α3,α4,α5全てを添加した Q(α1,α2,α3,α4,α5)としか書けない」 とはいえませんが 端的にいえば、根1個を追加したQ(α1)という形で書けませんか？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1659249925/540
541: １３２人目の素数さん [] 2022/12/10(土) 08:13:52.64 ID:meH3MbbN >>539 スレッドを立てられないこともあり、提案させていただきました http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1659249925/541
542: １３２人目の素数さん [] 2022/12/10(土) 08:24:37.53 ID:meH3MbbN >>536 ＞ζ_5が、最小拡大体に含まれないならば ＞ζ_5 not∈最小拡大体 だよね ええ、トートロジーですから ＞（そしてそれが普通だが） ええ、トートロジーですから http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1659249925/542
543: １３２人目の素数さん [] 2022/12/10(土) 08:28:28.20 ID:meH3MbbN >>536 ＞{α1,α2,α3,α4,α5}たちが全て実根ならば、 ＞ζ_5 not∈最小拡大体 だし ええ、Qは全て実数だし、根が全て実数なら それをQに追加した体の要素も全て実数です 一方、ζ_5は実数ではありませんから ガロア理論以前のこととして、 高校生でも分かるかと思います http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1659249925/543
544: １３２人目の素数さん [sage] 2022/12/10(土) 08:33:14.30 ID:meH3MbbN >>536 ＞{α1,α2,α3,α4,α5}に虚数根が含まれても、 ＞ζ_5がそれら虚数根を含む最小分解体に含まれないならば ＞ζ_5 not∈最小分解体 であり ええ、トートロジーですから ＞そのような場合こそ普通だろ ええ、トートロジーですから ところで、Q上の5次方程式f(x)のガロア群が位数5の巡回群の場合 ・根は全て実根である ・最小分解体はQに根の1つαを追加したQ（α）である がいえることは御存知でしたか？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1659249925/544
545: １３２人目の素数さん [] 2022/12/10(土) 08:42:47.19 ID:meH3MbbN >>536 １）~４）のうち ・１）、２）については 「Q係数の既約5次方程式で重根を持たず、べき根で解けるもの」と 「根α1,α2,α3,α4,α5 が、代数的に独立」が 両立することの証明がない ・３）および４）の後半は 「・・・に含まれないなら、not∈」 というトートロジーであり自明 ・４）の前半は、実数の部分集合が、 実数でない数を要素として持つことはない というもので、論理学におけるトートロジーではないが自明 ということで、残念ですが、誤りもしくは無内容、といわざるを得ませんでした http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1659249925/545
546: １３２人目の素数さん [] 2022/12/10(土) 08:48:49.89 ID:d7i+9yuD 🍎algebra Infinite addition of normal natural numbers ±1±2±3±4±5±6±･･････±∞≒±1/12⇔ 0=0, 0=0/0, 0=±∞/0, 0=±0/±∞, 0=±∞/±∞ ±1/12=±0,±∞±1/2,±1,±2,±3,±4±,5,±6,±7,±8,±9,±10,±11,±12 when -1/12⇔=0=⇔π^2/6 -1≈=π^2=e^πi ±1≈0=decimal e^πi +1≒0⇔ →↑↓→e^πi±1←↑↓← http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1659249925/546
547: １３２人目の素数さん [] 2022/12/10(土) 09:06:15.83 ID:meH3MbbN >>372 「x^5 + 6 x^4 - 12 x^3 - 32 x^2 + 16 x + 32=0 はQ上可解な既約5次方程式」 >>392 「372の方程式の最小分解体にζ_5が含まれるか否か分かりますかね？」 >>545 ＞何を問いたかったのか？ 意味が分からない そもそも、371の質問とそれに対する381の回答の中身が分かってますか？ >>371 ＞可解な既約5次方程式の代数解法には必ず5乗根が必要なことを示せ。 >>381 ＞方程式の群の可解列で、最後{e}の一つ前が、位数5の巡回群になる。 ＞これに対応するのが、5乗根の添加で 例えば x^5=aで ＞ここから、1の5乗根が出る 392は回答381への追加質問として書かれてます もっと分かりやすく質問しますが Q1. ５乗根の添加ということで、あるaの５乗根を添加するとして aはQの元？それともQではないある体の元？ 後者だとした場合、いかなる体の元？ Q2 「５乗根の添加」によってつくられた解を添加した、元の方程式の最小分解体の中に、 ５乗根そのものは要素として含まれる？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1659249925/547
548: １３２人目の素数さん [sage] 2022/12/10(土) 09:06:19.73 ID:dZ9h00o/ >>536 >１）いま、簡単にQ係数の既約5次方程式で重根を持たず、べき根で解けるものを取ったとする > 根α1,α2,α3,α4,α5 が、代数的に独立とする 「代数的に独立」の意味が分かってないね。 代数的関係があれば代数的に独立ではない。 特に代数的数同士は代数的に独立ではない。 超越数とか不定元なら、代数的に独立になる。 だから多分、「根たちが不定元だ」と言いたいのだろう。 しかしその場合、基礎体はQに方程式の係数（つまり根たちの基本対称式） を添加しなければならない。 そしてその場合、根たちは基礎体から代数的に導けるので 代数的に独立ではない。 代数方程式の根について論じてるのに、「代数的に独立」 という「魔法の言葉」で「証明」しようというのがバカだってこと。 正にトンデモ並の証明理解ｗ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1659249925/548
549: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2022/12/10(土) 09:16:33.15 ID:898jbfXT >>521 (引用開始) 「代数的に解くというのは ラグランジュのリゾルベントを反復適用する ってこと」がわかってない だからなんで可解性とかいう 「不可解」な定義が出てくんだ と思っちゃう ラグランジュのリゾルベントで解くしかない と分かれば、ああ、何だ、それだけか、で終わりw (引用終り) 違うよ 確かに、ガロア第一論文では、命題VIIでラグランジュ リゾルベントを使っている （彌永本 ガロアの時代・ガロアの数学 第二部が詳しい。この部分の解説もある。 しかし、ガロアの”次数(n-2)！”の補助方程式が何を指すのか分からない などと、彌永先生の目から見て、意味不明な点もあるようだね） さて Lagrange resolventは、現代数学では一般化されて、Resolvent (Galois theory)となっている 従って、Lagrange resolventを使っても良いが、他のResolventを使うことも可能 （これについては、Cox ガロワ理論下 13.2 5次多項式が詳しい。実際、Lagrange resolventでなく 普遍6次分解式を使って説明している） (参考) https://en.wikipedia.org/wiki/Resolvent_(Galois_theory) Resolvent (Galois theory) Resolvents were introduced by Joseph Louis Lagrange and systematically used by Evariste Galois. Nowadays they are still a fundamental tool to compute Galois groups. Terminology ・A Galois resolvent is a resolvent such that the resolvent invariant is linear in the roots. ・The Lagrange resolvent may refer to the linear polynomial Σ_{i=0}^{n-1} X_iω^i つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1659249925/549
550: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2022/12/10(土) 09:17:05.55 ID:898jbfXT >>549 つづき Resolvent method The resolvent method is just a systematic way to check groups one by one until only one group is possible. This does not mean that every group must be checked: every resolvent can cancel out many possible groups. For example, for degree five polynomials there is never need for a resolvent of D_{5}: resolvents for A_{5} and M_{20} give desired information. (注：下記では、ラグランジュ・リゾルベントを上記の一般的なResolventに近い意味で使っている。また、代数的に解ける場合に限定している) https://www.slideshare.net/junpeitsuji/ss-16134472 Jan. 23, 2013 Junpei Tsuji 可解性を説明できる代数的手法? 五次方程式の解法五次の交代群は単純群かつ巡回群でない⇔ ラグランジュ・リゾルベントは存在しない⇔ 解の公式は存在しない76; 77. 方程式が解くことができる仕組みを説明したガロア理論。 ガロア理論を使って、五次方程式が解けないことを示すまで、を初学者向けに説明することを試みます。 わかりやすいことに念頭をおいて作ったため、多少の不正確さはあると思います。 興味を持った方はぜひ参考書にトライしてみてください。 ※2015/02/03 スライド63がちょっと正確でない気がしてきましたので、調査中です。近いうちに修正します。 https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/bessatsu/open/B50/pdf/B50_015.pdf ラグランジュとガウスの代数方程式論の比較的考察 高瀬正仁 九州大学 MI 研究所/日本オイラー研究所 P3 ラグランジュのいう 「一般原理」というのはいわゆるラグランジュの分解式を根 底におく解法原理のことである. (引用終り) 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1659249925/550
551: １３２人目の素数さん [] 2022/12/10(土) 09:22:34.80 ID:DV2XUKqW >>550 以下の指摘に答えるべきなのは誰？ >１）いま、簡単にQ係数の既約5次方程式で重根を持たず、べき根で解けるものを取ったとする > 根α1,α2,α3,α4,α5 が、代数的に独立とする 「代数的に独立」の意味が分かってないね。 代数的関係があれば代数的に独立ではない。 特に代数的数同士は代数的に独立ではない。 超越数とか不定元なら、代数的に独立になる。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1659249925/551
552: １３２人目の素数さん [sage] 2022/12/10(土) 09:24:04.10 ID:dZ9h00o/ >「代数的に解くというのは > ラグランジュのリゾルベントを反復適用する > ってこと」 これは完全に正しいよ。 1がなぜ数学が出来ないか？ 自分の頭で考えないから。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1659249925/552
553: １３２人目の素数さん [] 2022/12/10(土) 09:29:22.35 ID:DV2XUKqW 自分の頭「だけ」で考えなければ 考えはなかなかまとまらない。 だからコピペになるのだろう。 と、自分の頭で考えた。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1659249925/553
554: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2022/12/10(土) 09:38:34.27 ID:898jbfXT >>548 >「代数的に独立」の意味が分かってないね。 >代数的関係があれば代数的に独立ではない。 >特に代数的数同士は代数的に独立ではない。 >超越数とか不定元なら、代数的に独立になる。 >だから多分、「根たちが不定元だ」と言いたいのだろう。 どうも スレ主です 「代数的に独立」の意味が分かってなかった 用語の誤用がありました （超越的との対比で使うべき用語だった） なお、言いたいことは、>>536&>>538(タイポ訂正)です (参考) https://pweb.cc.sophia.ac.jp/tsunogai/kougi/08/daisuu2e_17.pdf 26. 超越拡大・代数的独立性 26-1. 代数的独立. 体の拡大 L/K に於いて、有限部分集合 S = {x1, . . . , xn} ⊂ L に対し、 ・S : K 上代数的独立 (algebraically independent) ←⇒ φ : K[X1, . . . , Xn] → L; Xi → xi: 単射準同型 ←⇒ ∀x ∈ S : x が K(S r {x}) 上超越的 ←⇒ ∀k = 1, . . . , n に対し、xk : K(x1, . . . , xk?1) 上超越的 一般に、(無限かも知れない) 部分集合 S ⊂ L に対しては、 ・S : K 上代数的独立 ←←⇒ S の任意の有限部分集合が K 上代数的独立 ←⇒ ∀x ∈ S : x が K(S r {x}) 上超越的 http://www.math.s.chiba-u.ac.jp/~ando/DAISU3.pdf 代数学続論講義ノート 安藤哲哉 p4 2. 代数拡大 代数的独立 (引用終り) 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1659249925/554
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