[過去ﾛｸﾞ] (･ω･)俺が日々の数学的発見を書くスレ (139ﾚｽ)

(･ω･)俺が日々の数学的発見を書くスレ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1560765220/

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22: ◆uxQt4Y4ywU [sage] 2019/06/20(木) 12:06:58 ID:OEKcl1so [証明] e∈Qと仮定する。 e∈¬Zより、e=p/q(p,q∈N,q>1)とおける。 S=Σ[k=0→q]q!/k! (∈N)としておく。 以下、n∈Nは十分大きいとする。 (1+1/n)^n =Σ[k=0→n]nCk(1/n)^k >Σ[k=0→q]nCk(1/n)^k →Σ[k=0→q]1/q! (n→∞) (1+1/n)^n =Σ[k=0→n]nCk(1/n)^k =Σ[k=0→q]nCk(1/n)^k+Σ[k=q+1→n]nCk(1/n)^k <Σ[k=0→q]nCk(1/n)^k+Σ[k=q+1→n]1/k! <Σ[k=0→q]nCk(1/n)^k+(1/(q+1)!)Σ[k=q+1→n]1/(q+1)^(k-q-1) →Σ[k=0→q]1/k!+(1/(q+1)!)(1/(1-1/(q+1))) (n→∞) =Σ[k=0→q]1/k!+(1/q!)(1/q) 以上より、Σ[k=0→q]1/k!<e=p/q<Σ[k=0→q]1/k!+(1/q!)(1/q) なので、各辺にq!を掛ければ S<p(q-1)!<S+1/q これはS∈N、p(q-1)!∈N、q>1より成り立たず矛盾。 したがって、eが無理数である事が示された。// http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1560765220/22

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