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(・ω・)俺が日々の数学的発見を書くスレ (139レス)
(・ω・)俺が日々の数学的発見を書くスレ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1560765220/
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22: ◆uxQt4Y4ywU [sage] 2019/06/20(木) 12:06:58 ID:OEKcl1so [証明] e∈Qと仮定する。 e∈¬Zより、e=p/q(p,q∈N,q>1)とおける。 S=Σ[k=0→q]q!/k! (∈N)としておく。 以下、n∈Nは十分大きいとする。 (1+1/n)^n =Σ[k=0→n]nCk(1/n)^k >Σ[k=0→q]nCk(1/n)^k →Σ[k=0→q]1/q! (n→∞) (1+1/n)^n =Σ[k=0→n]nCk(1/n)^k =Σ[k=0→q]nCk(1/n)^k+Σ[k=q+1→n]nCk(1/n)^k <Σ[k=0→q]nCk(1/n)^k+Σ[k=q+1→n]1/k! <Σ[k=0→q]nCk(1/n)^k+(1/(q+1)!)Σ[k=q+1→n]1/(q+1)^(k-q-1) →Σ[k=0→q]1/k!+(1/(q+1)!)(1/(1-1/(q+1))) (n→∞) =Σ[k=0→q]1/k!+(1/q!)(1/q) 以上より、Σ[k=0→q]1/k!<e=p/q<Σ[k=0→q]1/k!+(1/q!)(1/q) なので、各辺にq!を掛ければ S<p(q-1)!<S+1/q これはS∈N、p(q-1)!∈N、q>1より成り立たず矛盾。 したがって、eが無理数である事が示された。// http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1560765220/22
23: ◆uxQt4Y4ywU [sage] 2019/06/20(木) 12:08:19 ID:OEKcl1so >>18 ありがとう だけど気分によって投稿間隔が大幅に揺れるから 1ヶ月レスしないとかザラにあると思う それは勘弁 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1560765220/23
24: ◆uxQt4Y4ywU [sage] 2019/06/20(木) 12:18:35 ID:KCWGPWJy >>20訂正 Σ[k=0→5]nCk(1/n)k となっている箇所は正しくは Σ[k=0→5]nCk(1/n)^k http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1560765220/24
25: ◆uxQt4Y4ywU [sage] 2019/06/20(木) 19:02:59 ID:KCWGPWJy ["πは無理数"の早見表](暗記推奨) I_n=(π^(n+1)/n!)∫[0→1]t^n*(1-t)^n*sintdtとすると ?I_[n+1]=((4n+2)/π)I_n-I_[n-1] , I_0=2 , I_1=4/π ?a^n*I_n→0 (n→∞) (for∀a>0) π=p/q(p,q∈N)として、J_n=p^n*I_nとおくと ?J_[n+1]=q(4n+2)J_n-p^2*J_[n-1] , J_0=2 , J_1=4q ?J_n→0 (n→∞) , J_n∈N (for∀n) →矛盾であるのでπ∈¬Q// http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1560765220/25
26: ◆uxQt4Y4ywU [sage] 2019/06/22(土) 08:58:23 ID:ViY+4mff [定理] 2019個の有理数a_1,…,a_2019が 「どの1つを取り除いても残りの2018個を和が 等しくなるように1009個ずつに二分できる」 ならばa_1,…,a_2019は全て等しい。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1560765220/26
27: ◆uxQt4Y4ywU [sage] 2019/06/22(土) 09:03:52 ID:ViY+4mff [概説] a_1~a_2019は整数だとしてよく、全ての偶奇は一致する。 これらに対し、2で割るか、±1を足して2で割る操作を繰り返すと あるタイミングでa_1~a_2019の中に0が生じるが、 このときに0でないものが含まれていると その後2で割る操作を続けた時に奇数が生じて a_1~a_2019の偶奇が一致することに矛盾する。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1560765220/27
28: ◆uxQt4Y4ywU [sage] 2019/06/22(土) 09:05:17 ID:ViY+4mff [証明] 有理数a_1,a_2,…,a_2019のことを{a}と書く。 2019個の数が 「どの1つを除いても残りの2018個の数を総和が等しくなるように1009個ずつに二分出来る」 という性質を持つとき、これを性質Pと呼ぶ事にする。 {a}が性質Pを持つとき、各々の有理数に等しい整数をかけて出来る有理数列も性質Pを持つ。 よって、以下では{a}は全て整数として良い。 {a}の総和をSとすると、{a}が性質Pを持つとき、S-a_i=(偶数) (for∀i)である。 よってa_iとSの偶奇は一致し(for∀i)、したがって{a}の各々の偶奇は一致する。…(*) ここで次の操作を考える。 (A){a}の全ての整数を2で割る (B){a}の全ての整数に1を足して2で割る (C){a}の全ての整数から1を引いて2で割る {a}の各々が偶数のときは(A)を行い、奇数のときは(B)または(C)を行う事にすると、 新たにできる{a}は全て整数であり、かつ性質Pを持つ。 よって、(*)により新たな{a}の各々の偶奇は一致する。 さて、{a}に適切に(A)~(C)の操作を有限回行うと(または行わないと)、ある段階(☆)で初めて{a}の中に0があらわれる。 段階(☆)で{a}の中に0でないものa_mがあったと仮定すると、 段階(☆)以後の{a}に対する操作は(A)のみ許されるので、 a_mは有限回の操作(A)の後で必ず奇数になる。 このとき{a}の中に偶数0と奇数a_mが同時に含まれる事になり矛盾する。 以上から、段階(☆)で{a}は全て0でなければならない事が分かった。 これは、操作を行う前の{a}が全て等しかった事を表している。// http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1560765220/28
29: ◆uxQt4Y4ywU [sage] 2019/06/23(日) 07:55:07 ID:SQl9GoQP [定理] 2019個の実数a_1,…,a_2019が 「どの1つを取り除いても残りの2018個を和が 等しくなるように1009個ずつに二分できる」 ならばa_1,…,a_2019は全て等しい。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1560765220/29
30: ◆uxQt4Y4ywU [sage] 2019/06/23(日) 07:55:27 ID:SQl9GoQP [証明] 実数a_1,a_2,…,a_2019のことを{a}と書く。 また、行列Xの転置行列をX^Tと書く。 題意より、{a}からa_iを取り除いて、和が等しくなるように 1009個ずつのグループP,Qに二分する事ができる。 行列Aの(i,j)成分A(i,j)を次のように定める。 A(i,i)=0 , A(i,j)=1(if a_j∈P) , A(i,j)=-1(if a_j∈Q) 列ベクトルxを、x=(a_1,…,a_2019)^Tとすると、 Ax=0 (0は2019×1の零行列)である。 ここで、Aから1列目と2019行目を取り除いた 2018×2018の正方行列をBとし、列ベクトルx'を x'=(a_2,…,a_2019)^Tとする。 また、Aの1列目より成る列ベクトルから最終行を除いた 2018×1の列ベクトルをuとし、Bのn列目をuに置き換えた 正方行列をB_nとする。見やすさのためk=-a_1とする。 このとき、Ax=0はBx'=kuと書ける。 クラメルの公式より、x'の(1,n)成分 : x'(1,n)は x'(1,n)=k(det B_n)/(det B)となる。 det B=±1、det B_n=±1であるので、x'(1,n)=±k したがって、x'の各成分の絶対値は|k|に等しい事が分かった。 すなわち、{a}の各々の絶対値は等しい。 以下、{a}の各々の符号が等しい事を示そう。 {a}の中にa_1と符号の異なる数a_n=-kが含まれていると仮定する。 {a}からa_nを取り除いたものを、和が等しくなるように 1009個ずつに二分できる事より、a_1と符号が異なる数は a_nを除いて偶数個、すなわち全体で奇数個ある。 同様に、{a}からa_1を取り除いたものを和が等しくなるように 二分できる事より、a_1と符号が異なる数は 全体で偶数個あると言えるが、これは上述の事に矛盾する。 以上から、{a}の各々の符号は全て等しい。 したがって題意は示された。// http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1560765220/30
31: ◆uxQt4Y4ywU [sage] 2019/06/23(日) 07:58:21 ID:SQl9GoQP ↑訂正 (1,n)としてある所は正しくは(n,1) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1560765220/31
32: ◆uxQt4Y4ywU [sage] 2019/06/23(日) 07:59:33 ID:d+1+ZoF7 [定理] 無理数の無理数乗が有理数となる場合が存在する。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1560765220/32
33: ◆uxQt4Y4ywU [sage] 2019/06/23(日) 08:04:14 ID:d+1+ZoF7 [証明] 「ある無理数a,bが存在してa^b∈Qとなる」 を命題Pとする。√2は無理数である。 (√2)^(√2)が有理数ならばPは真。 (√2)^(√2)が無理数ならば、これの√2乗は ((√2)^(√2))^(√2)=(√2)^2=2∈Qとなり、 無理数の無理数乗が有理数となるのでPは真。 以上からPが真である事が示された。// http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1560765220/33
34: ◆uxQt4Y4ywU [sage] 2019/06/23(日) 08:04:36 ID:d+1+ZoF7 [定理] √2は無理数である。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1560765220/34
35: ◆uxQt4Y4ywU [sage] 2019/06/23(日) 08:11:50 ID:d+1+ZoF7 [証明] 1^2<(√2)^2<2^2より1<√2<2である。 √2=p/q(p,q∈N)とおけると仮定する。 このような(p,q)の組のうち、qが最小となるものを (p,q)=(A,B)とする。このとき、 1<A/B<2なので0<A-B<Bが言える。 ここで、(2B-A)/(A-B)という数を考える。 (2B-A)/(A-B) =(2-(A/B))/((A/B)-1) =(2-√2)/(√2-1) =√2 なので、(p,q)=(2B-A,A-B)なる(p,q)の組が存在するが、 0<A-B<Bであったから、Bの最小性に矛盾する。 以上から、√2は無理数である。// http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1560765220/35
36: ◆uxQt4Y4ywU [sage] 2019/06/23(日) 08:12:50 ID:d+1+ZoF7 [c.f.] 2^(1/3)は無理数である。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1560765220/36
37: ◆uxQt4Y4ywU [sage] 2019/06/23(日) 08:14:36 ID:d+1+ZoF7 [証明] 2^(1/3)=p/q(p,q∈N)とおけると仮定すると、 2=(p/q)^3なので、q^3+q^3=p^3となる。 しかし、これはフェルマーの最終定理のn=3の場合に矛盾する。 したがって、2^(1/3)は無理数。// http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1560765220/37
38: ◆uxQt4Y4ywU [sage] 2019/06/23(日) 08:17:18 ID:d+1+ZoF7 ちなみに、(√2)^(√2)が無理数である事はベイカーの定理や、その特別な場合であるゲルフォント・シュナイダーの定理から示せる。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1560765220/38
39: 132人目の素数さん [sage] 2019/06/23(日) 08:20:40 ID:qc/xMCO6 正整数の有理数乗は、絶対値として無理数か整数かのいずれかをとる http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1560765220/39
40: ◆uxQt4Y4ywU [sage] 2019/06/23(日) 08:31:01 ID:arQfrD2D πとeが超越数である事を認めれば、π+eとπeの少なくとも一方が超越数である事が示される。 π+eとπeがいずれも代数的数だと仮定すると 方程式x^2-(π+e)+πe=0の解は代数的数になるが、 これは解x=πまたはx=eが超越数である事に矛盾する。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1560765220/40
41: ◆uxQt4Y4ywU [sage] 2019/06/23(日) 08:32:31 ID:arQfrD2D >>39 良いことを言うね http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1560765220/41
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