[過去ﾛｸﾞ] (･ω･)俺が日々の数学的発見を書くスレ (139ﾚｽ)

(･ω･)俺が日々の数学的発見を書くスレ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1560765220/

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15: ◆uxQt4Y4ywU [sage] 2019/06/20(木) 10:09:50 ID:FDNF7aqf [証明](後半) いま、任意のa>0に対してa^n*I_n→0(n→∞)となるような 強力な数列の漸化式I_[n+1]=((4n+2)/π)I_n-I_[n-1]が得られた。 (I_0=2 , I_1=4/πである) この強力な性質が、πの無理性に起因することを示そう。 π∈Qだと仮定する。π=p/q(p,q∈N、pとqは互いに素)とおける。 J_n=p^n*I_nとおくと、上記の事実により J_[n+1]=q(4n+2)J_n-p^2*J_[n-1] J_0=2 , J_1=4q , J_n→0(n→∞) となる。帰納的にJ_n∈Z(for∀n)であるから、 J_n→0(n→∞)を考慮すれば、あるm∈Nが存在して J_m=J_[m+1]=0となるはずである。 このとき、J_[m-1]=0となるので、帰納的に J_n=0(for∀n)となるが、これはJ_0=2に矛盾する。 以上から、円周率πが無理数である事が示された。(後半終)// http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1560765220/15

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