[過去ﾛｸﾞ] 背理法不要論ってどうなん？ (459ﾚｽ)
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6: 2018/05/17(木)00:26 ID:vpAiXbDe(1) AAS
自己解決しました
7: 2018/05/17(木)06:43 ID:qWZE8lcS(1) AAS
まだこれやってたのか
8: 2018/05/17(木)12:10 ID:8T70ejct(1) AAS
背理法で証明ができること自体は正しいが、どこが誤りであるかを正確に把握しなければならない
9(1): 2018/05/17(木)18:40 ID:iN6s+SGb(1) AAS
背理法なしで数学を組み立ててみればいい
たしか解析で行き詰まる
10: 2018/05/17(木)19:27 ID:5i6NZYPJ(1) AAS
>>9
背理法で証明できる命題は直接証明可能という定理がある
まあ存在定理だけどな
11: 2018/05/18(金)00:19 ID:kOsOKsPp(1) AAS
神は不在である
12(2): 2018/05/18(金)06:11 ID:/rLFIGkz(1) AAS
この話、よくわからないのだけど
例えばその背理法不要先生による
「√2は無理数である」
の証明はどういう形式をとるの？
13(4): 2018/05/18(金)09:58 ID:qs0nVYbF(1) AAS
背理法無用論信者による
「√２は無理数」の証明
任意の自然数 a,b につき、
２ * a * a
素因数２の個数が奇数
b * b
素因数２の個数が偶数
よって
２ * a * a ≠ b * b
両辺の平方根を取り
省3
14(2): 2018/05/18(金)11:20 ID:9WM3MLT9(1/3) AAS
それは背理法を使っていないのではなく、見かけを変えただけ
普通は最後に一度だけ「矛盾するので仮定は偽であった」と書くところを、推論の各ステップで何度も背理法を使っている
各ステップで使われる背理法の矛盾箇所は極めて単純なものなので、「矛盾するので仮定は偽であった」という文言を排しても読者に伝わる
そのため見かけ上では背理法を使っていないことになる
15: 2018/05/18(金)11:23 ID:9WM3MLT9(2/3) AAS
訂正
各ステップで使われる背理法の論証は極めて単純なので
「○○と仮定する……すると矛盾するので○○ではないことがわかる」という書式を省いても読者に伝わる
16: 2018/05/18(金)13:24 ID:CvPbHZEO(1) AAS
背理法不要論が実際に背理法を「使ってない」のかどうかはさておき、
「長い背理法は好ましくない」
「矛盾を導くまでの行数をなるべく短くしたい」
という欲求のもとでは、>>13のような証明はアリだろう。
17: 2018/05/18(金)15:56 ID:/rGWmATC(1) AAS
背理法だと偽の命題を仮定することになるから
その下で導出される命題は真でも偽でもあり得てしまう
それが嫌だから(証明の理解にならないから)背理法はダメという話だったと思うので
証明中に偽の命題が出てこない
という点で>>13はアリなのでしょう
18: 2018/05/18(金)16:17 ID:xZaz6ACB(1/2) AAS
>>14
一応途中で間違った命題が入ってないんだから、背理法とは別モノでしょう
19: 2018/05/18(金)16:39 ID:xZaz6ACB(2/2) AAS
>>14
と、いうか各ステップで背理法を使っているというのはどういうこと？使わなくてもできると思うが
もちろん、"使おうと思えば"使えるというだけであって
20(1): 2018/05/18(金)16:41 ID:wLf2fNpx(1) AAS
教科書に載ってる√2が無理数であることの証明は背理法ではないらしい
『Q&A数学基礎論入門』
21(1): 2018/05/18(金)16:52 ID:u4xfRisT(1) AAS
よくある勘違いで言えば
背理法不要論でいう背理法は数理論理学でいう背理法云々とは別物、証明法の話（主張そのものを見れば明らかなことだけど）
排中律とかはもちろん認めていて
前提に結論の否定を持ってきて始める証明法を問題にしているはず
22: 2018/05/18(金)16:59 ID:9WM3MLT9(3/3) AAS
そういうこと
証明法と言わずに書式の問題だと言った方が分かりやすい
23(2): 2018/05/18(金)23:30 ID:9raX2Rje(1) AAS
>>13 の証明方法
ネット上でも叩かれまくり
＝でなく≠で式を変形していくのは、より危険が大きい
素因数分解の一意性を使用しているが、背理法無用論で証明できるのか？
分かりやすくなるというメリットが無い。これでは背理法を使った方がより分かりやすい。
などなど
24(2): [age] 2018/05/18(金)23:59 ID:4eoGWamn(1) AAS
カントールの対角線論法も背理法でしょう。
だから背理法を否定したら、実数の無限集合が可付番集合でないことさえ
証明できなかった訳で。数学は背理法的な逆から矛盾を導くツールが多いよ
25(1): 2018/05/19(土)00:07 ID:S5Pbjzeo(1) AAS
>>24
√2の無理数性の証明と対角線論法は背理法といっても違うらしい
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