[過去ﾛｸﾞ] ■初等関数研究室■ (282ﾚｽ)
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81: 2019/06/23(日)13:49 ID:is8LyV+/0(1/16) AAS
■二項係数の間の等式
C(a,b)=(-1)^b C(b-a-1,b)
C(-a,b)=(-1)^b C(b+a-1,b)
82: 2019/06/23(日)13:50 ID:is8LyV+/0(2/16) AAS
Chu-Vandermonde identityにより
式をトランスフォーム
Table[sum[C(2n-1+C(0,n-2),k-1),{n,1,5}],{k,1,12}]
Table[sum[(-1)^(k-1)C(k-2n-1-C(0,n-2),k-1),{n,1,5}],{k,1,12}]
k | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12
0 | 5 | 26 | 73 | 133 | 167 | 148 | 91 | 37 | 9 | 1 | 0 | 0
83: 2019/06/23(日)14:54 ID:is8LyV+/0(3/16) AAS
「det」は、行列式の英語に当たる
”determinant”に由来します
84(1): 2019/06/23(日)15:26 ID:is8LyV+/0(4/16) AAS
n人掛けの長いすがある
ここに、2人組のカップルがつぎつぎとランダムな
位置に座っていく
但し、各カップルは隣り合って座り、1人が1人分の椅子を占有し、
一度座ったら動かないものとする
もし、左から3,4人目のところにカップルが座り、6,7人目の
ところにもカップルが座ると、5人目のところは使えないままと
なることになる
このように各カップルはランダムな位置を占有しながら、
座れなくなるまでカップルは座っていく
省4
85: 2019/06/23(日)15:28 ID:is8LyV+/0(5/16) AAS
いま、n人掛けの椅子はa_n人分のスペースが
孤立して残ると期待されるとする
例えば、n=0では誰も座れずa_0=0となり、
n=1ではやはりカップルは座れないが椅子は余るのでa_1=1、
n=2ではカップルが一組座って終わりなのでa_2=0、
n=3でも座れるカップルは一組だが1人分スペースが余るので
a_3=1となる
もし、一番最初のカップルが片端からk+1,k+2個目を
占有したとしたらどうなるだろうか
これは、その端からk個目までのk個と、
省5
86(1): 2019/06/23(日)15:29 ID:is8LyV+/0(6/16) AAS
重合度nのPVA（ポリビニルアルコール）があるとする
ここに、大過剰のホルムアルデヒド（HCHO）を用いて架橋を行う
即ち、各HCHO分子はPVAの隣り合う2つのOH基を架橋する
PVAのOH基をHCHOで架橋したものはビニロンと呼ばれる繊維になり、
残存するOH基の量に応じて吸水性などのパラメータが変わる
ここで、各HCHO分子は全くランダムな位置を架橋していくとし、
PVA とは架橋以外の相互作用をしないとする
もし、片端から3,4つ目のOHが架橋され、その後
6,7つ目のOHも架橋されたとすると、HCHOは5つ目のOHを
架橋できないことになる（隣り合うOHの架橋以外の相互作用を
省5
87: 2019/06/23(日)15:31 ID:is8LyV+/0(7/16) AAS
>>84と>>86は
本質的に同じ問題として解くことができる
88: 2019/06/23(日)15:31 ID:is8LyV+/0(8/16) AAS
■古典的確率模型
Ω={ω1,ω2, . . . ,ωn}(有限集合)
B=2^Ω(Ωのべき集合;Ωの部分集合すべてからなる集合族)
P(A)=#A/#Ω,A∈B(#Aは集合Aの元の個数)
89: 2019/06/23(日)15:33 ID:is8LyV+/0(9/16) AAS
この確率空間(Ω,B,P)を古典的確率模型という
サイコロを1回投じる
Ω={1, 2, 3, 4, 5, 6}, P({ω})=1/6(∀ω∈Ω).
P(奇数の目が出る)=P({1, 3, 5})=#{1, 3, 5}/#Ω=3/6=1/2.
コインを2回投げる
Ω={HH, HT, TH, TT},P({ω})=1/4(∀ω∈Ω).
(Hは表(head),Tは裏(tail)を意味する)
90: 2019/06/23(日)15:34 ID:is8LyV+/0(10/16) AAS
(a-b-c)(a+b-c)(a-b+c)(a+b+c)
a^4-2a^2b^2-2a^2c^2+b^4-2b^2c^2+c^4
91: 2019/06/23(日)16:12 ID:is8LyV+/0(11/16) AAS
一方、もしk人掛けの椅子ではx人分、n-k-2人掛けではy人分、
孤立したスペースを生じると期待されるとすれば、k人掛けの椅子と
n-k-2人掛けの椅子が両方あればx+y人分の孤立スペースが
出来ると期待される
以上より、最初のカップルがk+1,k+2個目を占有したなら、
孤立して残るスペースはa_k + a_n-k-2人分と期待される
各位置に座る確率はまったくランダムであるから、
この事象は1/(n-1)の確率でおきる
故に、a_nはa_0,a_1, ・ ・ ・a_n-2を用いて次のように表せる
a_n=(1/(n-1))sum[a_k + a_n-k-2,{k,0,n-2}]
省7
92: 2019/06/23(日)16:14 ID:is8LyV+/0(12/16) AAS
■a_nの評価
a_n=Sum[(-2)^k(n-k)/k!,{k,0,n-1}]
=(n)Sum[(-2)^k/k!,{k,0,n-1}]-Sum[(-2)^k/(k-1)!,{k,1,n-1}]
■n→∞の極限を考える
a_n≒(n)Sum[(-2)^k/k!,{k,0,∞}]+(2)Sum[(-2)^(k-1)/(k-1)!,{k,1,∞}]
省3
93: 2019/06/23(日)18:13 ID:is8LyV+/0(13/16) AAS
高次精度風上差分法
94: 2019/06/23(日)22:01 ID:is8LyV+/0(14/16) AAS
モックテータ関数は、S. Ramanujan が1920年に G. H. Hardy へ宛てた
最後の手紙、および Ramanujan の「失われたノート」と呼ばれる
草稿中で、初めて言及した関数である
95: 2019/06/23(日)22:11 ID:is8LyV+/0(15/16) AAS
■有限単純群モンスター
モンスターとは、およそ8.08×10^53個，正確には
2^46・3^20・5^9・7^6・11^2・13^3・17・19・23・29・31・41・47・59・71=
808017424794512875886459904961710757005754368000000000個の
元からなる巨大な群である
ちなみにアボガドロ定数はおよそ6.02 ×10^23である
モンスターは豊かな構造をもつ興味深い研究対象である
96: 2019/06/23(日)22:12 ID:is8LyV+/0(16/16) AAS
■Mathieu Moonshine 現象
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