Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 73

Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 73 (697ﾚｽ)
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682: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/16(土) 08:12:01.82 ID:psDSFTci

>>674
>灘も甲陽学院も落ちてクソ公立中クソ公立高にしかいけなかった高卒ホモは嘘指導で大恥かく

神戸の小学校時代 灘の難しさは すでに有名だった（実話として 私の叔父が公立中から灘高校へ入って すごいと言われた）
小学校で一人通るか通らないか と当時言われていた（いまは全国区らしい。当時は 地方区）
私の小学校からは 受験する人は居なかったと思う

中学校で、2年で同級生になった子が クラスで1番で 学年でもトップクラスで
噂では 灘中を落ちて 進学は灘高を狙っていると言われた
（のち 灘高は受からず 公立のナンバーワン高へ）

私が高校に入学して、入試で一番の子と同級生
噂では、その子は 灘を落ちて この高校に来たという
もう一人別に、凄くできる子がいて、全国模試で常に上位で 東大合格圏（学年ではほとんどトップ）
その子は 東大法学部に入った。あとで聞くと、その子も 灘におちて 公立校に来たらしい
灘高生でも 東大法学部おちる人いるから まあ 公立校周り道もありだろう

私？ 私立の中や高はお金かかるし 家から遠い
考えたことも無かったが、成績でも とても灘とかのレベルではなかったね ；ｐ）

>　DCはACωから導けない　と白状する正真正銘の白知

ふっふ、ほっほｗｗ　；ｐ）
下記
”従属選択公理は可算選択公理を導き、それより真に強い公理である。[5][6]”だってよ
文献[5][6]を 百回音読してねｗ　；ｐ）

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%93%E5%B1%9E%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
従属選択公理(英語: axiom of dependent choice; DCと略される)
他の公理との関連
完全な ACと違って、DCは(ZFの下で) 実数の不可測集合やベールの性質を持たない集合や perfect set property を持たない集合の存在を証明するのに不十分である。これはソロヴェイモデルにおいては ZF+DCが成り立ちながら実数の集合が全てルベーグ可測でベールの性質を持ち perfect set property を持つからである。
従属選択公理は可算選択公理を導き、それより真に強い公理である。[5][6]
参考文献
5.^ ベルナイスが従属選択公理から可算選択公理が導かれることを証明した。参照: p. 86 in Bernays, Paul (1942). “Part III. Infinity and enumerability. Analysis.”. Journal of Symbolic Logic. A system of axiomatic set theory 7 (2): 65–89. doi:10.2307/2266303. JSTOR 2266303. MR0006333.
6.^ 可算選択公理が従属選択公理を導かないことの証明は次のものを参照: Jech, Thomas (1973), The Axiom of Choice, North Holland, pp. 130–131, ISBN 978-0-486-46624-8

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/682

688: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/16(土) 14:15:00.08 ID:psDSFTci

>>683
>「σ集合体において可算個の演算が自由にできる」
>「演算」とは集合の合併∪と交叉∩を指す。
>「数学において無限回の操作の繰り返しは許されない」に対する反例としてσ集合体を持ち出すのはまったくトンチンカン。

ゴキブリくんは、そういう粗雑な頭だから 数学科のオチコボレさんなのだｗ
そもそも

１）例えば 下記 古代ギリシャのアキレスと亀においては、無限というものが 十分理解できていないから
　パラドックスに見えたが、現代数学の視点からは 幾通りかの数学的な解が可能
　その一つが、無限回の演算を認めることだ
　つまり、『アキレスが今度は地点Bに達したときには、亀はまたその時間分だけ先へ進む（地点C）』
　これを 無限回繰り返して良い と すれば パラドックスに見えたが その実”無限回の演算”について
　例えば 極限 として定義すれば 良いだけのこと（これは 21世紀では ほんの一つの解釈にすぎない）
２）つまりは、「数学において無限回の操作の繰り返しは許されない」は 古代ギリシャ時代の話だ
　これ対する反例は、21世紀 現代数学ではいくらでもある
　単に一つの反例が上記の 極限と解釈する方法だし
　あるいは、上記の「σ集合体において可算個の演算が自由にできる」の話だ
　測度論による確率で σ集合体を使うと 無限回のコイン投げやサイコロ投げの確率を扱える
　つまり、「数学において無限回の操作の繰り返しは許されない」の反例の一つだ
３）他にも いろいろあるが 例えば下記のオイラー積がある
　下記”ディリクレ級数を素数に関する総乗の形で表した無限積”
　左辺をディリクレ級数、右辺を無限積として もし ディリクレ級数が有限和であったり
　あるいは 無限積が有限で打ち切られたら？ 有限演算限定では 左辺＝右辺 の等号は不成立！■
　（なお、これが リーマン予想に直結することは ご存知の通り（下記小山））

(参考)>>663より
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%BC%E3%83%8E%E3%83%B3%E3%81%AE%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%89%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9
ゼノンのパラドックス
アキレスと亀
スタート後、アキレスが地点Aに達した時には、亀はアキレスがそこに達するまでの時間分だけ先に進んでいる（地点B）。アキレスが今度は地点Bに達したときには、亀はまたその時間分だけ先へ進む（地点C）。同様にアキレスが地点Cの時には、亀はさらにその先にいることになる。この考えはいくらでも続けることができ、結果、いつまでたってもアキレスは亀に追いつけない

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E7%A9%8D
オイラー積（英: Euler product）はディリクレ級数を素数に関する総乗の形で表した無限積である。ディリクレ級数の一種のリーマンのゼータ関数についてこの無限積が成り立つことを証明した18世紀の数学者レオンハルト・オイラーの名前にちなむ

https://researchmap.jp/koyama/published_papers/16345243/attachment_file.pdf
深リーマン予想 researchmap 小山信也 2019 数理科学
— ちょうど当時，黒川氏も木村氏と独立に臨界領. 域内のオイラー積を研究しており，黒川氏は，そ. の予想を「深リーマン予想」と名付け，解説書 4). を著した

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/688

695: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/16(土) 20:12:49.81 ID:psDSFTci

>>690-691
>>３）他にも いろいろあるが 例えば下記のオイラー積がある
>>　下記”ディリクレ級数を素数に関する総乗の形で表した無限積”
>無限回の操作の繰り返しは well-defined でないことがどうしても理解できないオチコボレ君

やれやれ
数学科1年の1日目で 目を白黒させて オチコボレさんになった人よ
そういう 固い頭だから ダメなんじゃないの？
現代数学は、いくつかの 無限回の操作の繰り返しを well-defined にできる
そう考える方が 現代数学 を深く理解できるよ
例えば、下記のゼータ関数のオイラー積 高校数学の美しい物語 などな　（＾＾
百回音読してね ；ｐ）

(参考)
https://manabitimes.jp/math/2836
高校数学の美しい物語
ゼータ関数のオイラー積  2023/09/04
目次
証明のスケッチ
応用
素数の無限性の証明
オイラー積表示によって素数が無限個あることが証明できます。
メビウス関数との関連
ウォリス積との類似

https://tsujimotter.hatenablog.com/entry/2014/03/30/172641
tsujimotterのノートブック
2014-03-30
ゼータ関数のオイラー積
オイラー積とは
レオンハルト・オイラーといえば世界一美しい公式と呼ばれる「オイラーの公式」が有名ですが、私が一番好きなのは次のオイラー積と呼ばれる公式です。
オイラー積（完全版）
略す
左辺が「1以上のすべての整数を使った和」となっており、右辺が「すべての素数を使った積」となっています。右辺が積の形をしているのでオイラー積と呼ばれます。
ポイントは「すべての整数」「すべての素数」を漏れなくだぶりなく使っている点で、まさに整数と素数をつなぐ架け橋になっているといえます。筆者はこのコンセプトが大好きです。
オイラー積の導出方法
略
素因数分解の一意性
ここで使っているのは、ただ一点、「素因数分解の一意性」です。
この「素因数分解の一意性」という整数の当たり前の性質を使っておきながら、それを的確な式の表現に落とすことで、誰も見たことない結果を生み出してしまう、というやり方が鮮やか
おわりに
ゼータ関数のオイラー積という美しい式を紹介しました。この式は「整数の和と素数の積に変換する」という一貫したコンセプトを持っていたのです。
しかもその導出は、「素因数分解の一意性」という整数の根源的な性質を用いるという、とびきり鮮やかなものでした。
オイラーがゼータ関数に着目したのは、素数の性質を探るためだと言われています。実際、オイラーはこの式から「素数の逆数の和が発散する」ことを示しています。いつかこの方法についても紹介したいですね。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/695

697: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/16(土) 20:35:18.54 ID:psDSFTci

>>691
>>例えば 下記 古代ギリシャのアキレスと亀においては、無限というものが 十分理解できていないから
>無限を理解できていないのは、無限回のサイコロ投げはいつか終わると思ってる君。
>いつか終わるならそれは無限回ではなく有限回。

現代数学は、いくつかの 無限回の操作の繰り返しを well-defined にできる
そう考える方が 現代数学 を深く理解できるよ

例えば、下記の重川一郎 確率論基礎 P47 ランダム・ウォーク より
"定義1.1 時間t∈T をパラメーターとして持つ確率変数の族(Xt)を確率過程という．
T として[0,∞）,Z+＝{0,1,2,・・・}などがよく使われる．
[0,∞）のとき連続時間，Z+のとき離散時間という．"

いま、簡単に 確率変数 Xtが 0 又は 1の値を 各1/2の確率で取るとする
これは コイン投げと同じ事象だ。それで  パラメーターt で 連続として
0〜100秒を考える。連続だから、この時間内で 可算無限個の t1,t2,・・・
のサンプリングが考えられる。これは コイン投げを可算無限行ったことに等しい

同じことを Xtが {1,2,3,4,5,6}の6つの値を 各1/6で取る 確率過程を考えることが可能
コイン投げと同様に、可算無限個の t1,t2,・・・のサンプリングが考えられる
これは サイコロ投げを可算無限行ったことに等しい■

>>663より再録
https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~ichiro/index_j.html
重川一郎
講義ノート
https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~ichiro/lectures/2013bpr.pdf
確率論基礎
重川一郎 平成26年8月11日
P6
確率空間
基本的にσ集合体では可算個の演算が自由にできる．確率論では可測空間に，確率を付加したものを考える．
Ｐ7
例1.1 サイコロ投げの場合確率空間として次のものを準備すればよい．
Ω＝{1,2,・・・,6}^N ∋ω＝(ω1,ω2,・・・)
ωnは、1,2,・・・,6のいずれかで，n回目に出た目を表す
これが実際にσ-加法的に拡張できることは明らかではないが，Kolmogorov
の拡張定理と呼ばれる定理により証明できる．

P47
第4章ランダム・ウォーク
この章では，最も簡単な確率過程としてランダム・ウォークを扱う．
1.単純ランダム・ウォーク
単純ランダム・ウォーク
定義1.1 時間t∈T をパラメーターとして持つ確率変数の族(Xt)を確率過程という．
T として[0,∞）,Z+＝{0,1,2,・・・}などがよく使われる．
[0,∞）のとき連続時間，Z+のとき離散時間という．

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/697

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