ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ18 (458ﾚｽ)
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266(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 06/29(日)11:30 ID:HQSTLRKE(6/13)
>>260
>ホントですか？ ガロア群は基礎体に1のべき根が含まれようが含まれまいが
>問題なく定義できますよ？
>べき根解法を論じる際に、ラグランジュ分解式の構成で必要になる1のべき根が
>基礎体に含まれていると仮定するというだけ。
ご苦労さまです
”だけ”ではない
（下記の）矢ヶ部 数３方式 ガロアの理論
P488にあるが
(n次)『f(x)=0が代数的に解けると、その群Tは単位置換だけを含むか
そうでないときは、Tは
T⊃S1⊃S2⊃・・・⊃SN={τ0}という、有限の部分群の系列を持つ。
SkはSk-1の正規部分群で、Sk-1に対するSkの指数は素数。勿論、S0はTの意味』
とあるよ
この系列は、正規鎖と呼ばれたりする
さて、基礎体に1のべき根が含まれないかは
この正規鎖の長さに影響するのです
つまり、基礎体に1のべき根が含まれるとすると
正規鎖が単純化されて、短くなる（つまり議論が単純化される）のです！ （＾＾
(参考)
https://www.gensu.jp/product/%E6%96%B0%E8%A3%85%E7%89%88-%E6%95%B0%EF%BC%93%E6%96%B9%E5%BC%8F-%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E3%81%AE%E7%90%86%E8%AB%96/
新装版 数３方式 ガロアの理論
著者：矢ヶ部 巌
A5判／525頁
-アイデアの変遷を追って-
268: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 06/29(日)12:40 ID:HQSTLRKE(7/13)
>>262-264
>本質的に巡回群？ そんな粗雑な表現は
>数学では許されませんね。「pが素数であるなど
代数方程式のガロア理論における可解の場合において
>>266 矢ヶ部 「数３方式ガロアの理論」P488にあるが
『f(x)=0が代数的に解けると、その群Tは単位置換だけを含むか
そうでないときは、Tは
T⊃S1⊃S2⊃・・・⊃SN={τ0}という、有限の部分群の系列を持つ。
SkはSk-1の正規部分群で、Sk-1に対するSkの指数は素数。勿論、S0はTの意味』とある
SkはSk-1の正規部分群で、Sk-1に対するSkの指数は素数
商群の位数は素数で 巡回群
なお 下記も ご参照
https://en.wikipedia.org/wiki/Cyclic_group
Cyclic group
Examples
Galois theory
An nth root of unity is a complex number whose nth power is 1, a root of the polynomial xn − 1. The set of all nth roots of unity forms a cyclic group of order n under multiplication.[1] The generators of this cyclic group are the nth primitive roots of unity; they are the roots of the nth cyclotomic polynomial. For example, the polynomial z3 − 1 factors as (z − 1)(z − ω)(z − ω2), where ω = e2πi/3; the set {1, ω, ω2} = {ω0, ω1, ω2} forms a cyclic group under multiplication. The Galois group of the field extension of the rational numbers generated by the nth roots of unity forms a different group, isomorphic to the multiplicative group (Z/nZ)× of order φ(n), which is cyclic for some but not all n (see above).
A field extension is called a cyclic extension if its Galois group is cyclic. For fields of characteristic zero, such extensions are the subject of Kummer theory, and are intimately related to solvability by radicals. For an extension of finite fields of characteristic p, its Galois group is always finite and cyclic, generated by a power of the Frobenius mapping.[8] Conversely, given a finite field F and a finite cyclic group G, there is a finite field extension of F whose Galois group is G.
（google訳）
n乗根は、 n乗が 1 である複素数で、多項式x n − 1の根である。すべてのn乗根の集合は、乗法の下でn 位の巡回群を形成する。[ 1 ]この巡回群の生成元はn乗原始根である。これらはn乗円分多項式の根である。たとえば、多項式z 3 − 1は( z − 1)( z − ω )( z − ω 2 )として因数分解される。ここでω = e 2 πi /3である。集合 {1, ω , ω 2 } = { ω 0 , ω 1 , ω 2 } は乗法の下で巡回群を形成する。n乗根によって生成される有理数の体拡大のガロア群は、 φ ( n )位の乗法群 ( Z/ n Z ) ×と同型の別の群を形成し、これはすべての n に対してではなく一部の n に対して巡回的です (上記を参照)。
体拡大は、そのガロア群が巡回的である場合、巡回拡大と呼ばれる。特性ゼロの体の場合、そのような拡大はクンマー理論の対象であり、根号による可解性と密接に関係している。特性 pの有限体の拡大の場合、そのガロア群は常に有限かつ巡回的であり、フロベニウス写像の冪によって生成される。[ 8 ]逆に、有限体 Fと有限巡回群 Gが与えられた場合、ガロア群が GであるFの有限体拡大が存在する
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