ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ18

ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ18 (445ﾚｽ)
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257(3): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 06/29(日)09:59 ID:HQSTLRKE(3/13)
>>255 補足
(引用開始)
このガロア拡大体の概念を定義するには大きく分けて3つのルートがあ
ります。
ガロア拡大体の定義
（１）方程式の最小分解体
（２）有限次正規拡大体
（３）（ガロア群の位数）＝（拡大体の次数）
この本がとったルートは，（１）（最小分解体道）です。
第6章「根号で表す」では，いよいよピークの定理の証明に挑みます。
章の冒頭では1のn乗根が根号で表されることを具体的に計算で示します。
1のn乗根が根号で表されることは，ピークの定理から導かれる事実です
(引用終り)

さらに補足しておくと
石井俊全氏は、ガロア拡大体の定義に3つの流儀があるという
で、Grokくんがこの3つの流儀をごちゃ混ぜにつまみ食いして記述するとおかしくなるだろうね

それから、”1のn乗根が根号で表されることは，ピークの定理から導かれる事実です”とあるだろ？
ここは、ガウスがDAで証明しているよ

だから、n次の代数方程式のガロア群を論じるときに
（いま、簡便に係数を有理数体Qに取るとして）
Qに対して「必要なだけの 1のn乗根が添加されている」とする立場と
そうでない立場の2つの流儀があるのです

前者の立場では、n次の代数方程式のガロア群を論じるときに
2項方程式 x^k=a のガロア群(a正でa≠1、k≧2)の扱いが簡便になるのです
一般の5次方程式が、冪根で解けないことの議論なら、これで間に合う

一方、ガウスDAの円の等分を、ガロア理論の一つの系として論じるときなどには
後者の立場が良いのです

で、Grokくんがこの2つの流儀をごちゃ混ぜにつまみ食いして記述するとおかしくなるだろうね；ｐ）

260(1): １３２人目の素数さん [sage] 06/29(日)10:46 ID:D/OwAG+k(2/8)
>>257
>だから、n次の代数方程式のガロア群を論じるときに
>（いま、簡便に係数を有理数体Qに取るとして）
>Qに対して「必要なだけの 1のn乗根が添加されている」とする立場と
>そうでない立場の2つの流儀があるのです

ホントですか？ガロア群は基礎体に1のべき根が含まれようが含まれまいが
問題なく定義できますよ？
べき根解法を論じる際に、ラグランジュ分解式の構成で必要になる1のべき根が
基礎体に含まれていると仮定するというだけ。
セタさんがその意味をまったく理解してなかったわけで、単純に
「1のべき根はすべて添加しておけ」と粗雑に理解していたがために
「そうすると円分体のガロア群はすべて単位群になってナンセンスですよ？」
という当然のツッコミを過去にされたことがある。
それを「2つの流儀がある！」と勝手に自己解決したのなら、誤解である。
数学者たちは自分の頭で考えているので、そんなナンセンスに至った
バカは歴史上にもいませんね。単なるセタさんの不理解ですな。

270(1): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 06/29(日)14:42 ID:HQSTLRKE(9/13)
>>257 補足
>だから、n次の代数方程式のガロア群を論じるときに
>（いま、簡便に係数を有理数体Qに取るとして）
>Qに対して「必要なだけの 1のn乗根が添加されている」とする立場と
>そうでない立場の2つの流儀があるのです

えーと、適当な文献がネットでヒットしないが（多分電子化されていない紙媒体が多いと思われる）
まあ、下記井汲景太氏 2021年1月7日などをば
”「必要なだけの 1のn乗根が添加されている」とする立場”については
各自下記を参考に、追加で検索するなり＊）、図書を読むなりしてください
＊）英文検索の方が何かヒットしそうだが、今回はここまで

(参考)
https://ikumi.que.jp/blog/
五次元世界の冒険数式処理ソフトによるガロア群の算出と、べき根を用いた厳密解の表現その17 2024年5月5日
など多数の投稿あり
https://ikumi.que.jp/blog/archives/999
五次元世界の冒険
新・方程式のガロア群の求め方 & ガロア群が可解である方程式の解き方その6
2021年1月7日
井汲景太
略
コメント
井汲景太
2022年6月10日
・ガロアの手法との関係
私もガロアの原論文にちゃんと当たったわけではないですが、私が読んだ文献の記述から、私は次のように理解しています。
ガロアの時代は、 1のべき根に限ればすべてべき根で表せるということがガウスによってわかっていました
略
このことから、ガロアの考察においては、「使用可能な数」として有理数と「 1のべき根」の区別ははっきりつけておらず、 p乗根の添加に当たっては「今まで Q だと思っていた係数体は、実は 1 の原始 p 乗根を含んでいたということにするよ」みたいな考え方に当たるようなルーズな扱い方をしています。
ですから、V の最小多項式が 1 次式にまでに因数分解し尽くした時の体は、現代の厳密な視点では一般には最小分解体ではなく、余裕のあるより大きい体になっている…というわけです。つまりガロアが示したことも、現在の記法で言えば L=S ではなく L⊃S です。

井汲景太
2022年6月12日
略
うーんと、「事前に用意しておく必要がある」というのがどういうことなのかよくわかりません。前回書いた通り、1の原始 n 乗根はすべてべき根で表せるので、1のべき根の添加は、その気になればすべて（多段の）べき根添加で代替できますよ。
略

サイトウ
2022年6月19日
略
ここでは，代数方程式の代数的可解性とガロア群の可解性とが同値であることを「考えている基礎体F が十分に多くの1 のべき根を含む」という追加条件のもとに説明した。実は，この追加条件は必要ないことが知られている。つまり，次の定理が成り立つ（証明は省略する）。
————————————–
イ　FをQの拡大体とし，F上のn 次代数方程式f (x) = 0 の最小分解体をE
とする。このとき， f (x) = 0 が代数的に可解であるための必要十分条件
は，ガロア群G = Gal(E/F) が可解群であることである。
略

271: 暇人 [] 06/29(日)15:57 ID:gukAFALT(4/12)
>>257
>n次の代数方程式のガロア群を論じるときに
>いま、簡便に係数を有理数体Qに取るとして、Qに対して
> 「必要なだけの 1のn乗根が添加されている」とする立場と
>そうでない立場の2つの流儀があるのです
>前者の立場では、n次の代数方程式のガロア群を論じるときに
>2項方程式 x^k=a のガロア群(a正でa≠1、k≧2)の扱いが
>簡便になるのです

それ　>>226の以下の補題の「さらに」以下の三行のことな。
つまり、aが ζ_niを使って表せる。

「補題（巡回拡大のべき根表示）：
Ki+1/Ki が位数 ni の巡回ガロア拡大であるとき、
Ki+1=Ki(α) であり、α^ni∈Ki となる α が存在する
（つまり、α は Ki 上のべき根）。
さらに、Ki が１の原始 ni 乗根 ζ_ni を含む場合、
拡大はクンマー拡大（Kummer extension）として記述でき、
α^ni=a( a ∈ K_i ）の形の解を持つ。」

でもこの段階ではζ_niが陽に現れ、消せてない。

実はζ_niも、ni＞mなるζ_mを使って表したbに関して
β^ｍ=bとなるβを基礎体Ｋに添加した体K(β)の元となる。

そして、ζ_mについてさらに同様のことを繰り返していけば
最終的にζ_2=-1に至り、これは体の要素であるので
結局基礎体の要素とべき根だけで表せてしまう。

君、ここまで考えた？全然考えてないだろ？
それじゃ意味ないじゃん。

> 一般の5次方程式が、冪根で解けないことの議論なら、これで間に合う

それを世間では「わかったつもり」という
そんな程度の好奇心しかないなら数学やめな　無駄だから

囲碁でも将棋でもやってれば？　でもそれじゃAIに勝てないけど
全然違うことやったほうがいい　君、考えることが不得意だから
IQ高くないだろ　100程度？　それ平均

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