ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ18 (445ﾚｽ)
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256(1): １３２人目の素数さん [sage] 06/29(日)09:49 ID:D/OwAG+k(1/8)
>>255
>1の冪根の方程式 x^n-1=0 (2≦n) において
>この方程式のガロア群は 本質的に巡回群だ
nは素数ですか、一般の自然数ですか？
いずれにしても、x^n-1は既約ではない。
ガロア群は基礎体上の既約方程式に対して定義されるのではないですか？
「この方程式のガロア群は 本質的に巡回群だ」とのことですが
「Q上のすべてのアーベル拡大は、円分体またはその部分体として得られる」
というクロネッカー-ウェーバーの定理と齟齬が生じるとは思いませんか？
つまり、巡回群より一般の「アーベル群」がガロア群として
生じるのではありませんか？
こういった細かい点を疑問に思わないのは、自分の頭で
一切考えたことがないからではないですか？
258(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 06/29(日)10:16 ID:HQSTLRKE(4/13)
>>256
ありがとう
良い突っ込みだね
”1の冪根の方程式 x^n-1=0 (2≦n) において
この方程式のガロア群は 本質的に巡回群だ”は、省略形です
まあ、>>255で引用した 石井の頂本を読んで貰えば 省略されていることは
全部記述があるよ （別に 石井の頂本以外の該当箇所でも可）
ちゃんとしたガロア本の成書で補うべし、そういう前提で書いている
念のため、ガロア群 ja.wikipediaを引用しておく
(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%BE%A4
ガロア群
定義
体の拡大のガロア群
略
多項式のガロア群
体 E が多項式 f の F 上の分解体（ f の根をすべて含む最小の F の拡大体）であるとき、 Gal(E/F) を f の F 上のガロア群と呼ぶ。
(引用終り)
>「Q上のすべてのアーベル拡大は、円分体またはその部分体として得られる」
>というクロネッカー-ウェーバーの定理と齟齬が生じるとは思いませんか？
そこも、興味深いツッコミだが
齟齬は 全く生じていないと思うよ
下記をご参照
(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%BC%E3%83%99%E3%83%AB%E6%8B%A1%E5%A4%A7
アーベル拡大
ガロア群がアーベル群となるようなガロア拡大のことをアーベル拡大 (abelian extension) と言う。ガロア群が巡回群のときは、巡回拡大 (cyclic extension) という。ガロア拡大が可解 (solvable) であるとは、ガロア群が可解、つまり中間拡大に対応するアーベル群の列からガロア群が構成されるときを言う。
有限体の全ての有限拡大は、巡回拡大である。類体論の発展は、数体と局所体と、有限体上の代数曲線の函数体のアーベル拡大についての詳細な情報をもたらした。
円分拡大という概念があり、2つの少し異なる定義がある。1つは1の冪根による拡大のことであり、もう1つはその部分拡大のことである。例えば円分体は円分拡大である。任意の円分拡大はいずれの定義でもアーベル拡大である。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%AD%E3%83%8D%E3%83%83%E3%82%AB%E3%83%BC%E3%83%BB%E3%82%A6%E3%82%A7%E3%83%BC%E3%83%90%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
クロネッカー・ウェーバーの定理
代数的整数論において、すべての円分体は有理数体 Q のアーベル拡大であることが示せる。クロネッカー・ウェーバーの定理 (Kronecker–Weber theorem) は、この逆を部分的に与えるもので、Q のアーベル拡大体はある円分体に含まれるという定理である。言い換えると、有理数体上の拡大体でそのガロア群がアーベル群である体に含まれる代数的整数は、1の冪根の有理係数による和として表すことができる。
https://tsujimotter.ｈａｔｅｎａblog.com/entry/kronecker-weber-1
tsujimotterのノートブック
2017-07-02
クロネッカー・ウェーバーの定理と証明のあらすじ（その１）
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