ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ18 (442ﾚｽ)
上下前次1-新
抽出解除 ﾚｽ栞
ﾘﾛｰﾄﾞ規制です｡10分ほどで解除するので､他のﾌﾞﾗｳｻﾞへ避難してください｡
166(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 06/12(木)22:34 ID:EWvjXceg(3/3)
つづき
Proof Outline:
1. Definition of Extension:
The extension F is defined on X by considering a sequence {x_n} in S that converges to x in X. Then F(x) is defined as the limit of f(x_n) as n approaches infinity.
2. Well-Definedness:
The definition of F is shown to be independent of the chosen sequence {x_n} converging to x.
3. Continuity of Extension:
The extension F is shown to be continuous on the closure of S (i.e., ¯S).
4. Uniform Continuity of Extension:
The uniform continuity of F is established using the uniform continuity of f and the completeness of Y.
Significance:
This theorem is fundamental in analysis because it allows us to extend properties of functions defined on dense subsets to the entire space. This is particularly useful when we want to analyze the behavior of functions on a larger space using information available on a smaller, dense subset
(参考リンク：URL略す)
Extending a function by continuity from a dense subset of a space
2011/10/29 — Now, the main theorem. Theorem. Let X and Y be metric spaces, S a subset of X, and f:S→Y. If f is uniformly continuous a...
Mathematics Stack Exchange
Continuous extensions of continuous functions on dense subspaces
2012/07/12 — 1 Answer. ... Uniform continuity ensures that the Cauchy sequence (qn) in Q is mapped to a Cauchy (and hence convergent)
Mathematics Stack Exchange
Uniform continuity - Wikipedia
Continuity of a function for metric spaces and at every point of an interval (i.e., continuity of on the interval ) is expressed b...
Wikipedia, the free encyclopedia
(引用終り)
以上
172(1): １３２人目の素数さん [] 06/13(金)08:06 ID:GS1iuXDT(1)
>>165-166
Q⊂R f: Q -> Rとする。
fが¯Q（Qの閉包）=R上の連続関数として拡張されるための
必要十分条件は何か？
Q上で一様連続ならば十分だが、それは必要条件か？否
f(x)=x^2はQ上一様連続ではない
では、必要十分条件は何か？
176(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 06/14(土)20:32 ID:036MevG8(3/3)
>>175
ふっふ、ほっほ
さずが、学部1年の1日目で詰んだ アホの数学科オチコボレさん
>>83 より再録
https://www.iwanami.co.jp/book/b265489.html
岩波 定本 解析概論 高木貞治 著 2010/09/15
詳しい目次
https://www.iwanami.co.jp/files/moreinfo/0052090/mokuji.pdf
第1章 基本的な概念
練習問題（1）
問（5）f(x),g(x)は[a,b]において連続とする．もし[a,b]内に稠密に分布されている点zにおいて(例
えばxが有理数なるとき）f(x)とg(x)とが相等しい値を取るならば,[a,b]のすべての点xにおいて
f(x)=g(x).
二次元以上でも同様である．
問（6）f(x)は或る区間[a,b]の有理数xに関してのみ定義されていて，かつ連続の条件を満足するとす
る．すなわちε-δ式でいえばlx−x'|<δなるとき, |f(x)-f(x')| < ε.そのとき，f(x)の定義を拡張し
て区間[a,b]において連続なる函数が得られるであろうか？(例：26頁に述べたα^xの拡張.）
［解］必要かつ十分なる条件は，上記の連続条件が一様性を有すること(εのみに関係してx,x',に関係
しないδが存在すること)である．26頁で,α^xに関しては単調性を用いたが，今度はCauchyの判定法
を用いる．
有理数というのは一例で，区間内において稠密なる点集合でもよい．また二次元以上でも同様である．
(引用終り)
ここで、高木は おそらく教育的配慮から（本は図書館へ返却して手元にないが、
練習問題（1）の前の記載 ”第1章 基本的な概念”の本文記述の都合で）
”区間[a,b]”に限定した 問（5）、問（6）の設定としたのだろう
では、この”区間[a,b]”の設定を外して
抽象的な距離空間で 同様の命題が成り立つか否か？
これは、自然な設問として 誰しも考えることだろう
その答えが、>>173-174 であり >>165-166だということよ
従って、いま必要なことは、アホぼけの オチコボレさんと、バカ数学問答をすることではなく
まず、>>173-174 ＆ >>165-166 を読み込むべし ってことだ
オチコボレさんは、数学イップスが治癒しかかっているが
いまだ完治せず らしい
>>173-174 ＆ >>165-166 が、読めないらしいｗ ；ｐ）
179(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 06/15(日)13:23 ID:lv2xCBEK(1)
>>178
(引用開始)
>Ｑ上連続だが一様連続でない関数のうち
>Q上の任意の閉区間で一様連続であるとき、そのときに限り
>R上連続関数に拡張でき、その拡張は一意的である
「Ｑ上連続だが一様連続でない関数のうち」はいらない
(引用終り)
ID:LXFVxBjuは、御大か
赤ペン先生 ご苦労さまです
さすがですね
すぐ気がつくんだ
で、”閉区間”という限定について
『抽象的な距離空間における 稠密な部分集合上で定義された 連続関数があったとして
それを、完備距離空間上の連続関数に拡張する問題』として考えると
”閉区間”という限定なしで、この問題は解ける
それが、>>176で 詳細は >>173-174 であり >>165-166だということ
勿論、この系として ”閉区間”に限定することも可能ということ
それだけのこと（全ては>>176記載の通り）
上下前次1-新書関写板覧索設栞歴
ｽﾚ情報 赤ﾚｽ抽出 画像ﾚｽ抽出 歴の未読ｽﾚ AAｻﾑﾈｲﾙ
ぬこの手 ぬこTOP 0.021s