ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ18

ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ18 (452ﾚｽ)
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165(4): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 06/12(木)22:33 ID:EWvjXceg(2/3)
>>155
>2)は、必要条件を求める問題、もちろん有界閉区間での知見を「陽」に使ってよい
>っていうか「陽」につかわないって馬鹿？

ふっふ、ほっほ
下記のAI による概要で
”Theorem:
Let X and Y be metric spaces, S a subset of X, and f: S -> Y.
If f is uniformly continuous and Y is complete, then there exists a unique continuous extension of f to ¯S (the closure of S).
Furthermore, this extension is uniformly continuous.”と言ってますよ
”有界閉区間”の条件はありません！！ｗ；ｐ）
＜キーワード＞
数学距離空間稠密関数一様連続拡張
　↓英訳
Mathematics Metric space Dense Function Uniform continuity Extension
　↓検索 googleさん
AI による概要（AI responses may include mistakes. Learn more）
In the context of metric spaces, if a function f is uniformly continuous on a dense subset S of a complete metric space X, then f can be extended to a uniformly continuous function F defined on the entire space X. This theorem is a powerful tool for extending functions from dense subsets to the whole space while preserving uniform continuity, which is crucial in many mathematical applications.

Key Concepts and Definitions:
Metric Space:
A set equipped with a distance function (or metric) that satisfies certain properties.
Dense Subset:
A subset where every point in the larger space is either in the subset or can be approached arbitrarily closely by a point in the subset.
Uniformly Continuous Function:
A function where the distance between the function values of two points can be made arbitrarily small as long as the distance between the two points is small, regardless of where those points are in the domain.

Complete Metric Space:
A metric space where every Cauchy sequence (a sequence that gets arbitrarily close to each other) converges to a point in the space.
Theorem:
Let X and Y be metric spaces, S a subset of X, and f: S -> Y.
If f is uniformly continuous and Y is complete, then there exists a unique continuous extension of f to ¯S (the closure of S).
Furthermore, this extension is uniformly continuous.

つづく

172(1): １３２人目の素数さん [] 06/13(金)08:06 ID:GS1iuXDT(1)
>>165-166
Q⊂R　f: Q -> Rとする。
fが¯Q（Qの閉包）=R上の連続関数として拡張されるための
必要十分条件は何か？

Q上で一様連続ならば十分だが、それは必要条件か？否

f(x)=x^2はQ上一様連続ではない

では、必要十分条件は何か？

173(4): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 06/14(土)09:22 ID:036MevG8(1/3)
>>165 追加
ふっふ、ほっほ
学部1年の1日目で詰んだアホの数学科オチコボレさんと
5ｃｈ数学板でつまらん議論（or スレばとる？）するほど暇では無い

そんな暇があれば、下記などをば
pdf univ を追加すれば、大学レベルのまとまったpdfに絞ることができる
それを読む方が、よほど有益だよｗ；ｐ）

＜キーワード＞
Mathematics Metric space Dense Function Uniform continuity Extension
　↓pdf univ を追加(大学レベルのまとまったpdfに絞る)
Mathematics Metric space Dense Function Uniform continuity Extension pdf univ
　↓検索 googleさん

On densely complete metric spaces and extensions of ...
arXiv
https://arxiv.org›pdf
PDF
K Keremedis 著 · 2019 · 被引用数: 7 — S is a dense subspace of X, while f : S → Y is a uniformly continuous function, then there exists a uniformly continuous extension F : X → Y.
On densely complete metric spaces and extensions of ...

ResearchGate
https://www.researchgate.net›330...
このページを訳す
2019/01/29 — A metric space X is called densely complete if there exists a dense set D in X such that every Cauchy sequence of points of D converges in ...
Metric Spaces

DIM-UChile
https://www.dim.uchile.cl›~chermosilla › CVV
PDF
S Shirali 著 · 被引用数: 139 — Let X be a metric space and x0 a point in X. The space of all real-valued, continuous bounded functions on X with the uniform metric du( f , g) ¼ sup{jf (x) ...
229 ページ
On the density of the space of continuous and uniformly ...

ScienceDirect.com
https://www.sciencedirect.com›article›pii›pdf›pid=...
C Costantini 著 · 2006 · 被引用数: 9 — For X a metrizable space and (Y,ρ) a metric space, with Y pathwise connected, we compute the density of (C(X, (Y, ρ)), σ )—the space of all continuous functions ...
23 ページ
Model theory for metric structures
Institut Camille Jordan
https://math.univ-lyon1.fr›articles›mtfms
PDF
IB Yaacov 著 · 被引用数: 576 — Suppose M,M0 are metric spaces and f is a bounded uniformly continuous function from M×M0 to R . Let ∆ be a modulus of uniform continuity for f. Then supy f and ...
114 ページ
Continuous extensions of continuous functions on dense ...

つづく

176(3): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 06/14(土)20:32 ID:036MevG8(3/3)
>>175
ふっふ、ほっほ
さずが、学部1年の1日目で詰んだアホの数学科オチコボレさん

　>>83 より再録
https://www.iwanami.co.jp/book/b265489.html
岩波定本解析概論高木貞治著 2010/09/15
詳しい目次
https://www.iwanami.co.jp/files/moreinfo/0052090/mokuji.pdf
第1章基本的な概念
練習問題（1）
問（5）f(x),g(x)は[a,b]において連続とする．もし[a,b]内に稠密に分布されている点zにおいて(例
えばxが有理数なるとき）f(x)とg(x)とが相等しい値を取るならば,[a,b]のすべての点xにおいて
f(x)=g(x).
二次元以上でも同様である．

問（6）f(x)は或る区間[a,b]の有理数xに関してのみ定義されていて，かつ連続の条件を満足するとす
る．すなわちε-δ式でいえばlx−x'|<δなるとき, |f(x)-f(x')| < ε.そのとき，f(x)の定義を拡張し
て区間[a,b]において連続なる函数が得られるであろうか？(例：26頁に述べたα^xの拡張.）
［解］必要かつ十分なる条件は，上記の連続条件が一様性を有すること(εのみに関係してx,x',に関係
しないδが存在すること)である．26頁で,α^xに関しては単調性を用いたが，今度はCauchyの判定法
を用いる．
有理数というのは一例で，区間内において稠密なる点集合でもよい．また二次元以上でも同様である．
(引用終り)

ここで、高木はおそらく教育的配慮から（本は図書館へ返却して手元にないが、
練習問題（1）の前の記載 ”第1章基本的な概念”の本文記述の都合で）
”区間[a,b]”に限定した問（5）、問（6）の設定としたのだろう

では、この”区間[a,b]”の設定を外して
抽象的な距離空間で同様の命題が成り立つか否か？
これは、自然な設問として誰しも考えることだろう

その答えが、>>173-174 であり >>165-166だということよ
従って、いま必要なことは、アホぼけのオチコボレさんと、バカ数学問答をすることではなく
まず、>>173-174 ＆ >>165-166 を読み込むべしってことだ

オチコボレさんは、数学イップスが治癒しかかっているが
いまだ完治せずらしい
>>173-174 ＆ >>165-166 が、読めないらしいｗ；ｐ）

179(1): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 06/15(日)13:23 ID:lv2xCBEK(1)
>>178
(引用開始)
>Ｑ上連続だが一様連続でない関数のうち
>Q上の任意の閉区間で一様連続であるとき、そのときに限り
>R上連続関数に拡張でき、その拡張は一意的である
「Ｑ上連続だが一様連続でない関数のうち」はいらない
(引用終り)

ID:LXFVxBjuは、御大か
赤ペン先生ご苦労さまです
さすがですね
すぐ気がつくんだ

で、”閉区間”という限定について
『抽象的な距離空間における稠密な部分集合上で定義された連続関数があったとして
それを、完備距離空間上の連続関数に拡張する問題』として考えると
”閉区間”という限定なしで、この問題は解ける
それが、>>176で詳細は >>173-174 であり >>165-166だということ
勿論、この系として ”閉区間”に限定することも可能ということ

それだけのこと（全ては>>176記載の通り）

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