ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ18

ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ18 (452ﾚｽ)
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126(3): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 06/05(木)18:14 ID:RwvI7Q/q(2/2)
>>120 追加
>こんな話は、世の中至る所に落ちていて

google検索：大学 pdf 距離空間上に定義された一様連続関数は完備化した空間上の一様連続関数に一意的に拡張できる
で、大学の講義用 pdf が見つかるよ
AIだけじゃなく裏付けの検索能力を向上させようね（＾＾

＜結果より抜粋＞
１）
https://www.rimath.saitama-u.ac.jp/
埼玉大学大学院理工学研究科数理電子情報専攻数学プログラム理学部数学科
https://www.rimath.saitama-u.ac.jp/lab.jp/ToshizumiFukui.html
福井　敏純のページ
https://www.rimath.saitama-u.ac.jp/lab.jp/Fukui/lectures/
講義ノートなど
集合と位相空間入門（2008年）の講義ノート
https://www.rimath.saitama-u.ac.jp/lab.jp/Fukui/lectures/Set_Topsp.pdf
集合と位相空間入門福井敏純
P122
9.3 一様連続
定理9.3.3 Xを距離空間，Yを完備距離空間とする．Xの稠密集合Aからの写像f：A→Yが一様連続ならば，
fは写像F：X→Yに一意に拡張する．
更に，Fも一様連続となる
証明概略のみ示す．x∈Xに収束するAの点列(an)をとる．点列(an)はCauchy列なので点列(f(an))もCauchy列であり，
ある点y∈Yに収束する．yは点列(an)の選び方によらずに定まる．■

２）
https://www.math.tsukuba.ac.jp/~ryoki/indexJP.html
福島竜輝筑波大学　数理物質系　数学域
https://www.math.tsukuba.ac.jp/~ryoki/FA/FA.html
関数解析講義ノート
筑波大学で2020年度から2024年度まで担当していた「関数解析」の講義ノートです．
https://www.math.tsukuba.ac.jp/~ryoki/FA/FALEC.pdf
関数解析講義ノート福島竜輝 March 28, 2025
P54
9.3 汎弱収束による点列前コンパクト性
・・・を満たすので，{xk}k∈N 上で一様連続です．
したがって距離空間の一般論
「稠密な部分集合の上で一様連続な関数は，一意的に全体に連続拡張できる」
を使って，ϕ:X →Cという連続線型汎関数が定まります．

127: 信長 [sage] 06/05(木)18:39 ID:VK1K7NB5(2/2)
>>126
ハゲネズミ　>>124には答えられんか

ふっふっふっふ、ほっほっほっほ

154(1): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 06/11(水)13:50 ID:181R6eWz(4/5)
>>148 補足
(引用開始)
>このことに言及する気にまったくなれない自分は
全くですね
”このこと”とは、>>145の”定理（有界閉区間上連続ならば一様連続）”
ですが、私も全く同様で、必要がないと思います
(引用終り)

そもそも>>83より再録
岩波定本解析概論高木貞治著 2010/09/15
詳しい目次
https://www.iwanami.co.jp/files/moreinfo/0052090/mokuji.pdf
第1章基本的な概念
練習問題（1）
ここにある下記の問題だね
問（5）f(x),g(x)は[a,b]において連続とする．もし[a,b]内に稠密に分布されている点zにおいて(例
えばxが有理数なるとき）f(x)とg(x)とが相等しい値を取るならば,[a,b]のすべての点xにおいて
f(x)=g(x).
二次元以上でも同様である．
問（6）f(x)は或る区間[a,b]の有理数xに関してのみ定義されていて，かつ連続の条件を満足するとす
る．すなわちε-δ式でいえばlx−x'|<δなるとき, |f(x)-f(x')| < ε.そのとき，f(x)の定義を拡張し
て区間[a,b]において連続なる函数が得られるであろうか？(例：26頁に述べたα^xの拡張.）
［解］必要かつ十分なる条件は，上記の連続条件が一様性を有すること(εのみに関係してx,x',に関係
しないδが存在すること)である．26頁で,α^xに関しては単調性を用いたが，今度はCauchyの判定法
を用いる．
有理数というのは一例で，区間内において稠密なる点集合でもよい．また二次元以上でも同様である．
(引用終り)

ここで
問（5）は、条件”[a,b]において連続”であるので
f(x)’＝f(x)-g(x) とおくと（>>106に書いたが）
相等しい値を取る → 定数関数として f(x)’≡0 を証明すれば良いとなる
直ちに分かることは、”（定数関数は一様連続関数）”が使えること（ (参考)wiis https://wiis.info/math/real-number/function/uniform-continuity-of-functions/ ）

問（6）は、大定理で一般の完備な空間の中の稠密部分において一様連続関数が完備な空間に延長できる
の一つの系に落とした問いだということ（この話はすでに>>126に書いた）

昔の大学への数学のコラムで「大学入試問題が、大学学部の大定理の一つの簡単な系が問題のネタ」というのがあった(高校数学内で解ける)
それの類似だろうさ

問（5）（6）どちらも、”区間[a,b]”に限らずとも成り立つ命題だ（数学的には ”区間[a,b]”は不要！）
高木先生は、教育的配慮で、一つの系 ”区間[a,b]”に落として問（5）（6）を設定していると見るのが相当
だから、大学学部１年の１日目で詰んだオチコボレさんは以外の大学学部卒業生は”区間[a,b]”を ”陽”に使わない証明を基本線として考えるべし！
（繰り返すがこの話はすでに>>126に書いた）

155(1): １３２人目の素数さん [sage] 06/11(水)15:37 ID:Haft9BYx(3/5)
>>154
問（6）の拡張

f(x)は有理数xに関してのみ定義されている

1)f(x)は「一様連続」の条件を満足するとする．
すなわちε-δ式でいえばlx−x'|<δなるとき, |f(x)-f(x')| < ε.
そのとき，f(x)の定義を拡張して実数において連続なる函数が得られるか？

2)逆にf(x)の定義を拡張して実数において連続なる函数が得られるのに、
必要十分な条件は何か？

1)は、ほぼ問6のまま、ただしこの場合「十分なる条件」でしかない
2)は、必要条件を求める問題、もちろん有界閉区間での知見を「陽」に使ってよい

っていうか「陽」につかわないって馬鹿？
そういう無駄ないきがりをやるから落ちこぼれるんだよ（笑）
>>126はこの問題を解くのに全く使えないよ
ま、検索せずに頭使いな　それともGrokに尋ねる？
あいつは頭悪いからうまく使わないと回答引き出せないよ

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