ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ18 (445ﾚｽ)
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117(3): 信長 [sage] 06/02(月)18:00 ID:ZRJYBVk5(4/6)
>>111
> でな、高木先生は おそらく 教育的配慮から
> 問題をグレードダウンしているのだろうね

「おそらく」とか「教育的配慮」とか
「グレードダウン」とか「だろう」とか
全部見当違い

問(5)も、問(6)も、実数の定義から分かる基本問題

> だが、君の本来の設問は 上記の通りで、閉区間と 有界の設定なしだろう？

まあ、なくても証明できるがな

「実数から実数への連続関数はすべての有理数の点の上での値だけで特定できる」
という問題は問(5)の一般化ではあるが、問(6)に答える必要がなく、単に、
「任意の有理数上で0となる関数を実数上の関数に拡張した場合
　任意の実数上で0となる定数関数以外の関数以外のものは存在しない」
ということを示せばいいだけ

定数関数が一様連続であることはアホでも分かろう

さて、問(6)を一般化する場合
「ε-δ式でいえばlx−x'|<δなるとき, |f(x)-f(x')| < ε」（A）
のδとεがxに依存したもの、すなわち
「ε-δ式でいえばlx−x'|<δ(x)なるとき, |f(x)-f(x')| < ε(x)」（A’）
でも拡張はできる
一方で、有理数の位相による連続性（B）では拡張の存在を示すには不十分である

（B）を満たすが（A）を満たさぬ関数がある
f(x)=0: x<√2,　=1: x>√2.　がその例
fが(A')を満たさぬことはハゲネズミでもわかろうが
fが(B)を満たすことが、ハゲネズミ、貴様に示せるか？
こんな初歩が分からん奴は大学1年からやり直せ

> つまり、
>「実数から実数への連続関数はすべての有理数の点の上での値だけで特定できる」
> を、百回反芻してくださいね

ハゲネズミが百回、千回、いや一万回反芻しても答えは思いつくまい
そもそもf(x)=0: x<√2,　=1: x>√2.がなぜ有理数上で連続なのかわからん上に
なぜ、有界閉区間だと連続ならば一様連続が云えて
なぜ、有界開区間だとそう云えないのか分からんハゲネズミは
大学１年レベルの初歩から微分積分が分かっとらんということじゃ
118: 信長 [sage] 06/02(月)18:07 ID:ZRJYBVk5(5/6)
>>117
いかんいかん、(A')ではいかんな　これでは(B)と変わらんｗ

やはり
「x_nがコーシー列のとき、f(x_n)もコーシー列」(A'')
でないといかん

xが有理数の場合の(A')(=(B))では、(A'')は言えん
119: 信長 [sage] 06/02(月)18:20 ID:ZRJYBVk5(6/6)
>>117後半　書き直し

さて、問(6)を一般化する場合
「ε-δ式でいえばlx−x'|<δなるとき, |f(x)-f(x')| < ε」（A）を
「x_nがコーシー列のとき、f(x_n)もコーシー列」（AA）と
変えても拡張はできる
一方で、有理数の位相による連続性
「ε-δ式でいえばlx−x'|<δ(x)なるとき, |f(x)-f(x')| < ε(x)」（A’）
では拡張の存在を示すには不十分である

(A')を満たすが（AA）を満たさぬ関数がある
f(x)=0: x<√2,　=1: x>√2.　がその例
fが(A’)を満たすことはハゲネズミでもわかろうが
fが(AA)を満たさぬことが、ハゲネズミ、貴様に示せるか？
こんな初歩が分からん奴は大学1年からやり直せ
120(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 06/04(水)15:26 ID:Vo5laslH(1/2)
>>115
(引用開始)
>>111
>「実数から実数への連続関数は
>　すべての有理数の点の上での値だけで特定できる」
>だったろ？ ここで有限区間の指定なし
「有限区間」というだけでは一様連続性は言えないぞ
例えば、開区間(a,b)では「連続ならば一様連続」とはいえない
(引用終り)

ふっふ、ほっほ
こんな話は、世の中 至る所に落ちていて
例えば 下記の ハテナブログ Branched Evolution Competitive Programming in Python 2020-08-16
”一様連続関数を完備化した空間に拡張する”を、ごらんあれ ｗ ；ｐ）

下記では、”有限区間の指定なし”！！
つまり、『一様連続関数を完備化した空間に拡張する』が、定理として成り立つ
有限区間[a,b]の指定は本質ではない
『高木先生は おそらく 教育的配慮から 問題をグレードダウンしているのだろうね』(>>111より)

下記の ハテナブログ を百回音読してね
その後、>>111を 読み返せ！ｗ

なお、下記 ハテナブログ では 実数値関数を扱っているが
複素数値関数 f:X→C (Cは複素数の集合)
でも同様だな （君のレベルが上がれば それが分かるだろう ；ｐ）

『問(5)も、問(6)も、実数の定義から分かる基本問題』>>117かよｗ
君は、さすが ”学部１年の１日目で詰んだ男”と言われるだけあるわｗ ；ｐ）

追伸：
下記 最後の”また，距離空間上の連続関数は稠密な部分集合上での値によって一意に決まるから，この拡張は一意的である．”が、>>83の 問（5）な （＾＾

(参考)
https://evolite.ｈａｔｅｎａｂｌｏｇ.com/entry/20200816/1597542858
Branched Evolution Competitive Programming in Python
2020-08-16
一様連続関数を完備化した空間に拡張する
関数解析 集合と位相

距離空間上に定義された一様連続関数は完備化した空間上の一様連続関数に一意的に拡張できる．

補題： 略す

定理
距離空間
(X,d) 上に定義された一様連続関数
f:X→R は
(X,d) の完備化
​(X^,d^) 上の一様連続関数
​f​^​​ :​X​^​​ →R に一意的に拡張できる．

証明
X は ​X​^​​ の稠密な部分集合として埋め込めるから，
x∈​X​^​​ に収束する
X の点列
{x​n} がとれる．
{x​n} は収束するから，Cauchy 列であり，補題より
{f(x​n)} も Cauchy 列である．
R の完備性より，
{f(x​n)} は収束し，その収束先は点列
{x​n} のとり方によらないから，
f^ を ​f​^​​ (x)=​lim​​ ​n→∞ f(x​n) で定義できる．
また，距離空間上の連続関数は稠密な部分集合上での値によって一意に決まるから，この拡張は一意的である．

参考
Aliprantis, Charalambos D., Border, Kim, Infinite Dimensional Analysis
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