ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ18

ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ18 (468ﾚｽ)
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270: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/06/29(日) 14:42:16.42 ID:HQSTLRKE

>>257 補足
>だから、n次の代数方程式のガロア群を論じるときに
>（いま、簡便に係数を有理数体Qに取るとして）
>Qに対して 「必要なだけの 1のn乗根 が 添加されている」とする立場と
>そうでない立場の2つの流儀があるのです

えーと、適当な文献がネットでヒットしないが（多分 電子化されていない紙媒体が多いと思われる）
まあ、下記 井汲景太氏 2021年1月7日など をば
”「必要なだけの 1のn乗根 が 添加されている」とする立場”については
各自 下記を参考に、追加で検索するなり＊）、図書を読むなりしてください
＊）英文検索の方が何かヒットしそうだが、今回はここまで

(参考)
https://ikumi.que.jp/blog/
五次元世界の冒険 数式処理ソフトによるガロア群の算出と、べき根を用いた厳密解の表現 その17 2024年5月5日
など多数の投稿あり
https://ikumi.que.jp/blog/archives/999
五次元世界の冒険
新・方程式のガロア群の求め方 & ガロア群が可解である方程式の解き方 その6
2021年1月7日
井汲 景太
略
コメント
井汲 景太
2022年6月10日
・ガロアの手法との関係
私もガロアの原論文にちゃんと当たったわけではないですが、私が読んだ文献の記述から、私は次のように理解しています。
ガロアの時代は、 1のべき根に限ればすべてべき根で表せるということがガウスによってわかっていました
略
このことから、ガロアの考察においては、「使用可能な数」として有理数と「 1のべき根」の区別ははっきりつけておらず、 p乗根の添加に当たっては「今まで Q だと思っていた係数体は、実は 1 の原始 p 乗根を含んでいたということにするよ」みたいな考え方に当たるようなルーズな扱い方をしています。
ですから、V の最小多項式が 1 次式にまでに因数分解し尽くした時の体は、現代の厳密な視点では一般には最小分解体ではなく、余裕のあるより大きい体になっている…というわけです。つまりガロアが示したことも、現在の記法で言えば L=S ではなく L⊃S です。

井汲 景太
2022年6月12日
略
うーんと、「事前に用意しておく必要がある」というのがどういうことなのかよくわかりません。前回書いた通り、1の原始 n 乗根はすべてべき根で表せるので、1のべき根の添加は、その気になればすべて（多段の）べき根添加で代替できますよ。
略

サイトウ
2022年6月19日
略
ここでは，代数方程式の代数的可解性とガロア群の可解性とが同値であることを「考えている基礎体F が十分に多くの1 のべき根を含む」という追加条件のもとに説明した。実は，この追加条件は必要ないことが知られている。つまり，次の定理が成り立つ（証明は省略する）。
————————————–
イ　FをQの拡大体とし，F上のn 次代数方程式f (x) = 0 の最小分解体をE
とする。このとき， f (x) = 0 が代数的に可解であるための必要十分条件
は，ガロア群G = Gal(E/F) が可解群であることである。
略

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748354585/270

274: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/06/29(日) 17:33:38.58 ID:HQSTLRKE

>>270
>新・方程式のガロア群の求め方 & ガロア群が可解である方程式の解き方 その6
>2021年1月7

ここ、井汲景太氏で 検索すると 多数の投稿があった
下記を、抜粋ご紹介しておく

google検索：
方程式のガロア群の求め方 site:https://ikumi.que.jp/

検索結果：
https://ikumi.que.jp/blog/
五次元世界の冒険 – Venture among math and relativity
2024/05/05

https://ikumi.que.jp/blog/archives/25
ガロア理論の学習に至るまで – 五次元世界の冒険
アイネットディー
2014/02/23 — 「一般の 5 次方程式を、係数に有限回の加減乗除と累乗根を施すだけで解くことはできない」ということを最初に証明したのはアーベルで、ガロア理論の登場 ...

https://ikumi.que.jp/blog/archives/132
ガロア流のガロア群の定義解説のハマリ所 – 五次元世界の冒険 2014年4月15日
アイネットディー
ガロア群の定義は、現代流に再編された代数理論だと、ベースになる体 K とそのガロア拡大体 L に対して、 L の K 同型写像全体のなす群として定めている。

https://ikumi.que.jp/blog/archives/256
ガロア群が可解である方程式の解き方・その1
https://ikumi.que.jp › blog › archives
2015/12/24 — 前回、重解を持たない n 次方程式では、整数係数であれば n ≧ 5 であっても解の置換群としての Galois 群が求められることを説明した。

https://ikumi.que.jp/blog/wp-content/uploads/2018/09/galois-solution.pdf
可解な代数方程式の ガロア理論に基づいた解法 2018年 9月
アイネットディー
PDF P63
... 計算例を加えた。 第1部では代数方程式のガロア群の計算法について述べる。以下に概要を示す。 (1)対象とする代数方程式はn次方程式f(x)=x n+an-1x n-1+…+a1x+a0=0とし ...

https://ikumi.que.jp/blog/wp-content/uploads/2019/09/galois-solution-ver2.pdf
可解な代数方程式の ガロア理論に基づいた解法(第2版) 2019年 9月
アイネットディー
PDF
第1部では代数方程式のガロア群の計算法について述べる。以下に概要を示す。 (1)対象とする代数方程式はn次方程式f(x)=x n+an-1x n-1+…+a1x+a0=0とし，その根をx1,x2 ...

https://ikumi.que.jp/blog/archives/252
方程式のガロア群の求め方
アイネットディー
2015/12/06 — V = α + 2 β + 3 γ とおく（解の整数係数の1次結合）。対称群 S 3 の 3 ! = 6 通りの置換で V の解を入れ替えた値を V 1 〜 V 6 とする。

https://ikumi.que.jp/blog/archives/293
方程式のガロア群の求め方＆ガロア群が可解である方程式の解き方・番外編.
アイネットディー
2016/03/21 — 方程式のガロア群の求め方＆ガロア群が可解である方程式の解き方・番外編 · に対して、 · に対応する V k にわたる積 · の最小多項式として F ( x ) の既約 ...

https://ikumi.que.jp/blog/archives/875
新・方程式のガロア群の求め方 その2
アイネットディー
2019/11/21 — いつも通り、 V = α + 2 β + 3 γ とおく。ポイントは、 V と (1) の 6 つの元の積を、再び (1) の 1 次結合として書き表すことである

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748354585/274

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