ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ18 (468ﾚｽ)

ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ18 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748354585/

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243: 暇人 [] 2025/06/28(土) 14:55:21.28 ID:4S+Arcik >>242 以下では、当該箇所（ステップX）の議論を厳密に再検討し、 なぜこれが循環論法でないかを詳細に説明します。 問題の背景 十分性の証明では、ガロア群 G=Gal(L/K) が可解群であるとき、 代数方程式の解が K の元を用いた四則演算とべき根で表せることを示しています。 ステップXでは、巡回拡大 Ki+1/Ki を構成する際に、 Ki が１の原始 ni乗根 ζ‗ni を含まない場合、Ki(ζ‗ni) を構成する必要があり、 これが x^ni−1=0 の解の添加（べき根の添加）として記述されると述べました。 ご指摘の懸念は、ζ‗ni 自体が x^ni−1=0 の解であるため、 「ζ‗ni を添加する」ことが「ζ‗ni自身を仮定する」ように見え、 循環論法に陥るのではないかという点です。 以下で、このプロセスが循環論法でない理由を説明します。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748354585/243

244: 暇人 [] 2025/06/28(土) 14:56:26.26 ID:4S+Arcik >>243 ステップXの詳細な再検討 状況の再確認 Ki+1/Ki は位数 ni の巡回ガロア拡大で、 ガロア群 Gal(Ki+1/Ki)≅Z/niZ です。 巡回拡大を構成するためには、クンマー理論により、Ki が原始 ni 乗根 ζ‗ni を含むことが必要です（クンマー拡大の条件）。 もし Ki が ζ‗ni を含まない場合、まず拡大 Ki(ζ‗ni)/Ki を構成し、これがガロア拡大であり、ガロア群が巡回群（またはアーベル群）であることを利用します。 原始乗根の添加 １の原始 ni 乗根 ζ‗niは、方程式 x^ni−1=0 の根であり、 Ki(ζ‗ni)/Ki はこの方程式の分裂体への拡大です。 この拡大は、体の標数が ni と互いに素である場合（例えば、Ki⊆Q や標数 0 の体）、ガロア拡大であり、 ガロア群 Gal(Ki(ζ‗ni)/Ki)は (Z/niZ)×（ni 番目の単位根群）に同型です。これはアーベル群であり、したがって可解群です。 例えば、ni=p（素数）の場合、 x^p−1=(x−1)(x^(p−1)+x^(p−2)+⋯+1) であり、 ζ‗pは円分多項式 Φp(x)=xp−1+⋯+1=0 の根です。 この拡大は巡回拡大であり、ζ‗pを添加することで得られます。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748354585/244

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