ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ18 (462ﾚｽ)
ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ18 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748354585/
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228: 暇人 [] 2025/06/28(土) 08:38:21.44 ID:4S+Arcik >>227 ステップ3：解の表現 f(x) の解は L の元であり、L は K から四則演算（体の基本演算）とべき根の添加の繰り返しで構成される。 各べき根 α は x^ni−a=0 の解であり、a∈Ki。 これを繰り返すことで、f(x) の根は K の元を用いた四則演算とべき根で表現できる。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748354585/228
229: 暇人 [] 2025/06/28(土) 08:41:30.11 ID:4S+Arcik >>225 補足：原始根の添加 （注：ここの箇所はGrokの文章を修正している 修正点１：元の文ではステップ１と２の間にこの文章があったのを補足として後ろにもってきた 修正点２：方程式x^ni−1を(x^ni−1)/(x-1)に修正 修正点３：元の文は「ζ_ni は方程式 …の解として得られる。（これはべき根の追加）」で終わっているが このままだと循環論法なので、以下文章を追加した） もし Ki が1の原始 ni 乗根 ζ‗ni を含まない場合、まず Ki(ζ‗ni) を構成する。 体の標数が ni と互いに素であれば、Ki(ζ‗ni)/Ki は巡回拡大であり、 ζ_ni は方程式 (x^ni−1)/(x-1)=0 の解として得られる。 (x^ni−1)/(x-1)のガロア群は(Z/ni)×と同型であり、可解群であるので 体Kiの標数が 0 もしくは (Z/ni)×の位数と素であるなら、 >>226-228のステップ１、２，３により、上記の方程式の解が K の元を用いた四則演算とべき根で表現できる。 （注：(Z/ni)×はZ/niと異なる） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748354585/229
234: 暇人 [] 2025/06/28(土) 08:47:06.59 ID:4S+Arcik >>224 結論 十分性：>>225-229 ガロア群 Gal(L/K) が可解群ならば、解は四則演算とべき根で表せる。これは、正規系列に沿った巡回拡大がべき根の添加で構成できるため。 必要性：>>230-232 解が四則演算とべき根で表せるならば、ガロア群は可解群である。これは、べき根の添加による拡大のガロア群が可解であるため。 よって、定理が証明された。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748354585/234
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