ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ18 (484ﾚｽ)

ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ18 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748354585/

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226: 暇人 [] 2025/06/28(土) 08:36:42.54 ID:4S+Arcik >>225 ステップ1：巡回拡大の構造 まず、ガロア群 Gi/Gi+1 が巡回群である拡大 Ki+1/Ki を考えます。 巡回群の位数を ni=∣Gi/Gi+1∣ とし、Ki が1の原始 ni 乗根を含むと仮定します （必要に応じて、原始根を添加した拡大を別途考える）。 補題（巡回拡大のべき根表示）： Ki+1/Ki が位数 ni の巡回ガロア拡大であるとき、 Ki+1=Ki(α) であり、α^ni∈Ki となる α が存在する （つまり、α は Ki 上のべき根）。 さらに、Ki が１の原始 ni 乗根 ζ‗ni を含む場合、 拡大はクンマー拡大（Kummer extension）として記述でき、 α^ni=a( a ∈ K_i ）の形の解を持つ。 補題の証明： Ki+1/Ki は位数 ni のガロア拡大で、ガロア群は Z/ni に同型。 ガロア理論により、σ∈Gal(Ki+1/Ki) は σ(α)=(ζ‗ni^k)α（ζ‗ni は1の原始 ni 乗根、( k ) は σ に対応する整数）で定義される。 α^ni は σ によって固定される（σ(α^ni)=(σ(α))^ni=((ζ‗ni^k)α)^ni=α^ni より）。 よって、α^ni∈Ki。 よって、Ki+1=Ki(α) は x^ni−a=0（a=α^ni∈Ki）の解によって得られる。 この補題により、各 Ki+1/Ki はべき根の添加で構成できる。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748354585/226

227: 暇人 [] 2025/06/28(土) 08:37:20.37 ID:4S+Arcik >>226 ステップ2：拡大の連鎖 正規系列 G0⊵G1⊵⋯⊵Gm={e} に沿って、体の拡大 K=K0⊆K1⊆⋯⊆Km=L を構築する。 各ステップ Ki+1/Ki は、ステップ1により、べき根の添加（および必要に応じて原始根の添加）で構成できる。 最終的に、L=Km は K から有限回のべき根の添加で得られる。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748354585/227

229: 暇人 [] 2025/06/28(土) 08:41:30.11 ID:4S+Arcik >>225 補足：原始根の添加 （注：ここの箇所はGrokの文章を修正している 修正点１：元の文ではステップ１と２の間にこの文章があったのを補足として後ろにもってきた 修正点２：方程式x^ni−1を(x^ni−1)/(x-1)に修正 修正点３：元の文は「ζ_ni は方程式 …の解として得られる。（これはべき根の追加）」で終わっているが このままだと循環論法なので、以下文章を追加した） もし Ki が1の原始 ni 乗根 ζ‗ni を含まない場合、まず Ki(ζ‗ni) を構成する。 体の標数が ni と互いに素であれば、Ki(ζ‗ni)/Ki は巡回拡大であり、 ζ_ni は方程式 (x^ni−1)/(x-1)=0 の解として得られる。 (x^ni−1)/(x-1)のガロア群は(Z/ni)×と同型であり、可解群であるので 体Kiの標数が 0 もしくは (Z/ni)×の位数と素であるなら、 >>226-228のステップ１、２，３により、上記の方程式の解が K の元を用いた四則演算とべき根で表現できる。 （注：(Z/ni)×はZ/niと異なる） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748354585/229

234: 暇人 [] 2025/06/28(土) 08:47:06.59 ID:4S+Arcik >>224 結論 十分性：>>225-229　ガロア群 Gal(L/K) が可解群ならば、解は四則演算とべき根で表せる。これは、正規系列に沿った巡回拡大がべき根の添加で構成できるため。 必要性：>>230-232　解が四則演算とべき根で表せるならば、ガロア群は可解群である。これは、べき根の添加による拡大のガロア群が可解であるため。 よって、定理が証明された。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748354585/234

271: 暇人 [] 2025/06/29(日) 15:57:16.08 ID:gukAFALT >>257 >n次の代数方程式のガロア群を論じるときに >いま、簡便に係数を有理数体Qに取るとして、Qに対して > 「必要なだけの 1のn乗根 が 添加されている」とする立場と >そうでない立場の2つの流儀があるのです >前者の立場では、n次の代数方程式のガロア群を論じるときに >2項方程式 x^k=a のガロア群(a正でa≠1、k≧2)の扱いが >簡便になるのです それ　>>226の以下の補題の「さらに」以下の三行のことな。 つまり、aが ζ_niを使って表せる。 「補題（巡回拡大のべき根表示）： Ki+1/Ki が位数 ni の巡回ガロア拡大であるとき、 Ki+1=Ki(α) であり、α^ni∈Ki となる α が存在する （つまり、α は Ki 上のべき根）。 さらに、Ki が１の原始 ni 乗根 ζ_ni を含む場合、 拡大はクンマー拡大（Kummer extension）として記述でき、 α^ni=a( a ∈ K_i ）の形の解を持つ。」 でもこの段階ではζ_niが陽に現れ、消せてない。 実はζ_niも、ni＞mなるζ_mを使って表したbに関して β^ｍ=bとなるβを基礎体Ｋに添加した体K(β)の元となる。 そして、ζ_mについてさらに同様のことを繰り返していけば 最終的にζ_2=-1に至り、これは体の要素であるので 結局基礎体の要素とべき根だけで表せてしまう。 君、ここまで考えた？全然考えてないだろ？ それじゃ意味ないじゃん。 > 一般の5次方程式が、冪根で解けないことの議論なら、これで間に合う それを世間では「わかったつもり」という そんな程度の好奇心しかないなら数学やめな　無駄だから 囲碁でも将棋でもやってれば？　でもそれじゃAIに勝てないけど 全然違うことやったほうがいい　君、考えることが不得意だから IQ高くないだろ　100程度？　それ平均 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748354585/271

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