ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ18 (445ﾚｽ)
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256(1): １３２人目の素数さん [sage] 06/29(日)09:49 ID:D/OwAG+k(1/8)
>>255
>1の冪根の方程式 x^n-1=0 (2≦n) において
>この方程式のガロア群は 本質的に巡回群だ
nは素数ですか、一般の自然数ですか？
いずれにしても、x^n-1は既約ではない。
ガロア群は基礎体上の既約方程式に対して定義されるのではないですか？
「この方程式のガロア群は 本質的に巡回群だ」とのことですが
「Q上のすべてのアーベル拡大は、円分体またはその部分体として得られる」
というクロネッカー-ウェーバーの定理と齟齬が生じるとは思いませんか？
つまり、巡回群より一般の「アーベル群」がガロア群として
生じるのではありませんか？
こういった細かい点を疑問に思わないのは、自分の頭で
一切考えたことがないからではないですか？
260(1): １３２人目の素数さん [sage] 06/29(日)10:46 ID:D/OwAG+k(2/8)
>>257
>だから、n次の代数方程式のガロア群を論じるときに
>（いま、簡便に係数を有理数体Qに取るとして）
>Qに対して 「必要なだけの 1のn乗根 が 添加されている」とする立場と
>そうでない立場の2つの流儀があるのです
ホントですか？ ガロア群は基礎体に1のべき根が含まれようが含まれまいが
問題なく定義できますよ？
べき根解法を論じる際に、ラグランジュ分解式の構成で必要になる1のべき根が
基礎体に含まれていると仮定するというだけ。
セタさんがその意味をまったく理解してなかったわけで、単純に
「1のべき根はすべて添加しておけ」と粗雑に理解していたがために
「そうすると円分体のガロア群はすべて単位群になってナンセンスですよ？」
という当然のツッコミを過去にされたことがある。
それを「2つの流儀がある！」と勝手に自己解決したのなら、誤解である。
数学者たちは自分の頭で考えているので、そんなナンセンスに至った
バカは歴史上にもいませんね。単なるセタさんの不理解ですな。
262(2): １３２人目の素数さん [sage] 06/29(日)10:57 ID:D/OwAG+k(3/8)
「この方程式のガロア群は 本質的に巡回群だ」
これも奇妙な言い回しである。本質的に巡回群？
たとえば、2つの2次巡回群の直接 C_2×C_2は
本質的に巡回群？ そんな粗雑な表現は
数学では許されませんね。「pが素数であるなどの
典型的なケースではガロア群は巡回群」これなら一応
意味は通るが、「本質的に巡回群だ」という表現はおかしい。
263(1): １３２人目の素数さん [sage] 06/29(日)11:00 ID:D/OwAG+k(4/8)
1の原始8乗根のガロア群で、すでに巡回群でないケースが生じる。
(Z/8Z)^×は巡回群ではない。
その元aを、1,3,5,7で代表される類をもってあらわす
つまり a∈{1,3,5,7}とすると、a^2=1 をみたすから
(Z/8Z)^×は巡回群C_4ではなく、アーベル群C_2×C_2である。
264(1): １３２人目の素数さん [sage] 06/29(日)11:12 ID:D/OwAG+k(5/8)
>>262
>直接 C_2×C_2
→直積 C_2×C_2
267(2): １３２人目の素数さん [sage] 06/29(日)11:48 ID:D/OwAG+k(6/8)
セタさんに質問です。
ζを1の原始7乗根とする。
問1. Q(ζ)/Qはガロア拡大であるが、そのガロア群は何か？（どんな群に同型か？）
ζをべき根表示する際に、3次方程式を解く必要があり、1の原始3乗根ωを使う。
問2. Q(ζ,ω)/Q(ω)はガロア拡大であるが、そのガロア群は何か？（どんな群に同型か？）
279: １３２人目の素数さん [sage] 06/29(日)19:29 ID:D/OwAG+k(7/8)
>だから、n次の代数方程式のガロア群を論じるときに
>（いま、簡便に係数を有理数体Qに取るとして）
>Qに対して 「必要なだけの 1のn乗根 が 添加されている」とする立場と
>そうでない立場の2つの流儀があるのです
もう一度言いますが、こんなことを言ってるのはセタさんだけで
珍説中の珍説（おそらく誤解の複雑骨折から生じた）だと
申し上げておきましょう。
ガロア群を定義するのに、ガロア流とデデキント流があるとは言いますが
基礎体に1のべき根を含める流儀と含めない流儀があるなどとバカな
ことを言う数学者は存在しません。
280: １３２人目の素数さん [sage] 06/29(日)19:31 ID:D/OwAG+k(8/8)
結局、>>267のような基本的な問いにも答えられないということですね。
答えはどちらも6次巡回群C_6であるということになります。
Gal(Q(ζ)/Q)とGal(Q(ζ,ω)/Q(ω))は、拡大体として異なるので
デデキント流では異なるガロア群だと言えるでしょう。
が、ガロアの定義では方程式のガロア群としては同じになるのです。
ガロアの定義とデデキントの定義は同値なので、デデキント流でも
ガロア群の作用を「ζとその共役」に限った場合は同じ作用である
として、合理化されます。
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