ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ18

ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ18 (458ﾚｽ)
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27: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/28(水) 14:53:16.49 ID:vzADU7Bh

つづき

Let  ai=bi pi, i=1,…s,
where the pi  are s
different primes and the bi
positive integers not divisible by any of them. The author proves by an inductive argument that, if xj
are positive real roots of xnj−aj=0, j=1,...,s,
and P(x1,...,xs)
is a polynomial with rational coefficients and of degree not greater than nj−1
with respect to xj,
then P(x1,...,xs)
can vanish only if all its coefficients vanish.  Reviewed by W. Feller.

15,404e 10.0X
Mordell, L. J.
On the linear independence of algebraic numbers.
Pacific J. Math. 3 (1953). 625-630.

Let K
be an algebraic number field and x1,…,xs
roots of the equations  xnii=ai (i=1,2,...,s)
and suppose that (1) K
and all xi
are real, or (2) K
includes all the ni
th roots of unity, i.e. K(xi)
is a Kummer field. The following theorem is proved. A polynomial P(x1,...,xs)
with coefficients in K
and of degrees in xi
, less than ni
for i=1,2,…s
, can vanish only if all its coefficients vanish, provided that the algebraic number field K
is such that there exists no relation of the form  xm11 xm22⋯xmss=a
, where a
is a number in K
unless  mi≡0modni (i=1,2,...,s)
. When K
is of the second type, the theorem was proved earlier by Hasse [Klassenkorpertheorie, Marburg, 1933, pp. 187--195] by help of Galois groups. When K
is of the first type and K
also the rational number field and the ai
integers, the theorem was proved by Besicovitch in an elementary way. The author here uses a proof analogous to that used by Besicovitch [J. London Math. Soc. 15b, 3--6 (1940) these Rev. 2, 33].  Reviewed by H. Bergstrom.

https://arxiv.org/abs/2006.07951
Journal reference: Can. Math. Bull. 64 (2021) 877-885 [Submitted on 14 Jun 2020 (v1), last revised 27 May 2021 (this version, v2)]
https://arxiv.org/pdf/2006.07951
ON THE DEGREE OF REPEATED RADICAL EXTENSIONS
FERNANDO SZECHTMAN
Abstract. We answer a question posed by Mordell in 1953, in the case repeated radical extensions, and find necessary and sufficient conditions for [F[ m1 √N1,..., mℓ √Nℓ] : F] = m1 ···mℓ, where F is an arbitrary field of characteristic not dividing any mi.
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748354585/27

109: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/06/01(日) 09:55:05.49 ID:SMdueHXd

つづき

上記の https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy-continuous_functionより
Examples and non-examples
For example, define a two-valued function so that
f(x) is 0 when x^2 is less than 2 but 1 when x^2 is greater than 2.
(Note that x^2 is never equal to 2 for any rational number x.)
This function is continuous on Q but not Cauchy-continuous, since it cannot be extended continuously to R.
On the other hand, any uniformly continuous function on Q must be Cauchy-continuous.
(引用終り)

x<√2 と x^2 is less than 2 とは、同じ意味だ
さらに初心者向け解説をば 追加する

https://wiis.info/math/real-number/function/uniform-continuity-of-functions/
wiis
関数の一様連続性（一様連続関数）
改めて整理すると、関数 f:R⊃X→Rが定義域X上で連続であることは、
∀a∈X,∀ε＞0,∃δ>0,∀x∈X：(|x-a|＜δ→|f(x)-f(a)|＜ε) ・・・(1)
が成り立つことを意味する一方、fが定義域X上で一様連続であることは、
∀ε＞0,∃δ>0,∀a∈X,∀x∈X：(|x-a|＜δ→|f(x)-f(a)|＜ε) ・・・(2)
が成り立つことを意味しますが、両者の違いは量化記号
∀a∈X
の相対的な位置だけです。連続性の定義(1)において∀a∈Xは∃δ>0よりも前に置かれているため、
(1)を満たすδの水準は点aの位置に依存します。点aの位置が変われば(1)を満たすδの値もまた変化するということです。
例（定数関数は一様連続関数）
(引用終り)

いま、上記 x=√2 の近くの点aを考える
簡単に、 a＜√2 とする （一様連続でない）(1)の場合に
|x-a|＜δ で
点aが √2 に 近づくと δを 小さく √2を超えないように制限することで (1)を満たし、従って 連続が言える
一方、(2)の場合には、δが先に与えられて √2を超えると、(2)を満たせず 一様連続が言えなくなる■

で、最初の 問(5）f(x)’＝f(x)-g(x) ＝0 は、上記 wiis ”例（定数関数は一様連続関数）”が当てはまる■
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748354585/109

336: １３２人目の素数さん [] 2025/07/16(水) 17:48:15.49 ID:QGC/Vmou

これ面白い
https://diamond.jp/articles/-/368145
電機業界の年収ランキング【主要7社】日立、富士通、パナ、NEC…前年から「80万円アップ」でトップに躍り出たのは？
ダイヤモンド編集部 　 今枝翔太郎
特集予測・分析25年 給料ランキング
2025年7月14日 5:25 有料会員限定

電機大手各社は、優秀な人材を確保すべく、熾烈な「賃上げ競争」を繰り広げている。大手電機メーカーの給与事情を分析すると、「ある大手企業」の平均年収が前年度から80万円もアップしてトップに躍り出たことが明らかになった。特集『25年 給料ランキング』の本稿では、電機業界7社の年収推移を大公開し、給与アップの“デッドヒート”ぶりをお伝えする。（ダイヤモンド編集部　今枝翔太郎）

人材争奪戦が過熱し、賃上げが進む電機業界
年収の上昇幅では格差が…
　電機業界で賃上げが進んでいる。

2025年春闘では、日立製作所や富士通などがベア月額1万7000円の満額回答をしている。一方、業績不振でリストラに踏み切るパナソニック ホールディングス（HD）はベア1万3000円、経営再建中の東芝は1万4000円、シャープは1万2000円など、各社の経営状況によって上がり幅にはばらつきがある（パナソニックのリストラについては、特集『パナソニック 正念場』の＃3『【内部資料入手】パナソニック1万人リストラの年齢別「割増退職金」が判明！“狙い撃ち”された年代は2000万円超？』参照）。

では、電機大手各社の実際の年収は、具体的にどう変わっているのだろうか。

ダイヤモンド編集部は、日立、パナソニック、三菱電機、NEC、富士通、シャープ、東芝の7社について、コロナ前の19年度からの平均年収の推移を徹底分析した（東芝は23年の上場廃止に伴い23、24年度の年収は非開示）。すると、電機大手で熾烈なトップ争いが繰り広げられており、昨年度から順位が大きく入れ替わっていることが判明した。

年収ランキング1位に躍り出た企業は、平均年収が前年度から80万円以上もアップしているのだ。いったいどこだろうか。

次ページでは、電機業界7社のコロナ前からの年収推移を大公開する。

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電機業界年収ランキング！1位と2位は「2万円差」のデッドヒート！
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