ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ18 (541ﾚｽ)

ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ18 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748354585/

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246: 暇人 [] 2025/06/28(土) 14:58:36.03 ID:4S+Arcik 可解群の構造との整合性： 可解群の正規系列 G0⊵G1⊵⋯⊵Gm={e} に沿って拡大を構成する際、 各ステップで必要な原始乗根の添加は、 前のステップで得られた体 Ki の元に基づいて行われます。 ζ_ni の添加は、拡大 Ki(ζ_ni)/Ki を構成し、 そのガロア群が可解（実際にはアーベル）であることを保証します。 これにより、次のステップ（クンマー拡大）の準備が整います。 循環論法の回避： 循環論法とは、結論を仮定して証明を進める場合です。 ここでは、ζ_ni を添加することは、Ki に含まれる 1 を用いて x^ni−1=0 の解を導入する操作であり、 ζ_ni 自身を仮定しているわけではありません。 証明全体の目的は、L の元（方程式の解）を K の元と四則演算・べき根で表現することです。 ζ_ni の添加は、このプロセスの中間ステップであり、Ki の元に基づく方程式の解として正当化されます。 具体例で確認 例えば、K=Q、ni=3 の場合： Q に原始 3 乗根 ζ_3（ζ_3^3=1,ζ3≠1）が含まれていない。 Q(ζ_3) は x^3−1=0 の分裂体であり、 Φ3(x)=x2+x+1=0 の根を添加することで得られる。 これは、a=1∈Q を用いた x^3−1=0 の解の添加であり、べき根の添加として正当です。 ガロア群 Gal(Q(ζ3)/Q)≅Z/2Z は巡回群であり、可解群の構造に適合します。 このプロセスは、ζ_3 を「仮定」するのではなく、Q の元 1 に基づく方程式の解を導入するものです。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748354585/246

247: 暇人 [] 2025/06/28(土) 15:04:21.56 ID:4S+Arcik >>246 修正されたステップXの記述 ご指摘を受けて、ステップXの記述をより明確にすると以下のようになります： ステップX：原始乗根の添加： もし Ki が原始 ni 乗根 ζ_ni を含まない場合、 拡大 Ki(ζni)/Kiを構成する。 ζ_ni は方程式 x^ni−1=0（ここで 1∈Ki）の解であり、 Ki(ζ_ni) はこの方程式の分裂体である。 体の標数が ni と互いに素であれば、Ki(ζ‗ni)/Ki はガロア拡大で、ガロア群は (Z/niZ)× に同型（アーベル群）。これは可解群である。 この拡大は、Ki の元 1 を用いたべき根の添加（x^ni−1=0 の解の添加）として記述でき、 証明の目的である「四則演算とべき根による表現」に適合する。 このように、ζ‗ni の添加は、Ki の元に基づく方程式の解を導入する操作であり、循環論法にはなりません。 結論 ステップXの「ζ‗ni は x^ni−1=0 の解として得られる」という記述は、 Ki の元 1 を用いたべき根の添加を意味し、ζ‗ni 自身を仮定するものではないため、循環論法ではありません。 証明全体は、 K の元から始めて、有限回の四則演算とべき根の添加（x^ni−a=0,a∈Ki）を通じて L を構成する論理に基づいており、自己完結的です。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748354585/247

248: 暇人 [] 2025/06/28(土) 15:14:56.38 ID:4S+Arcik 242-247を読む限り、全然わかってないわけではなさそうだが 肝心のところはどうもわかってなさそう とはいえ、スレ主　現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP　は 全然カスリもしてないので、それに比べたら全然マシかと http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748354585/248

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