ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ18 (541ﾚｽ)
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246(1): 暇人 [] 06/28(土)14:58 ID:4S+Arcik(21/23)
可解群の構造との整合性：
可解群の正規系列 G0⊵G1⊵⋯⊵Gm={e} に沿って拡大を構成する際、
各ステップで必要な原始乗根の添加は、
前のステップで得られた体 Ki の元に基づいて行われます。
ζ_ni の添加は、拡大 Ki(ζ_ni)/Ki を構成し、
そのガロア群が可解（実際にはアーベル）であることを保証します。
これにより、次のステップ（クンマー拡大）の準備が整います。
循環論法の回避：
循環論法とは、結論を仮定して証明を進める場合です。
ここでは、ζ_ni を添加することは、Ki に含まれる 1 を用いて
x^ni−1=0 の解を導入する操作であり、
ζ_ni 自身を仮定しているわけではありません。
証明全体の目的は、L の元（方程式の解）を K の元と四則演算・べき根で表現することです。
ζ_ni の添加は、このプロセスの中間ステップであり、Ki の元に基づく方程式の解として正当化されます。
具体例で確認
例えば、K=Q、ni=3 の場合：
Q に原始 3 乗根 ζ_3（ζ_3^3=1,ζ3≠1）が含まれていない。
Q(ζ_3) は x^3−1=0 の分裂体であり、
Φ3(x)=x2+x+1=0 の根を添加することで得られる。
これは、a=1∈Q を用いた x^3−1=0 の解の添加であり、べき根の添加として正当です。
ガロア群 Gal(Q(ζ3)/Q)≅Z/2Z は巡回群であり、可解群の構造に適合します。
このプロセスは、ζ_3 を「仮定」するのではなく、Q の元 1 に基づく方程式の解を導入するものです。
247: 暇人 [] 06/28(土)15:04 ID:4S+Arcik(22/23)
>>246
修正されたステップXの記述
ご指摘を受けて、ステップXの記述をより明確にすると以下のようになります：
ステップX：原始乗根の添加：
もし Ki が原始 ni 乗根 ζ_ni を含まない場合、
拡大 Ki(ζni)/Kiを構成する。
ζ_ni は方程式 x^ni−1=0（ここで 1∈Ki）の解であり、
Ki(ζ_ni) はこの方程式の分裂体である。
体の標数が ni と互いに素であれば、Ki(ζ‗ni)/Ki はガロア拡大で、ガロア群は (Z/niZ)× に同型（アーベル群）。これは可解群である。
この拡大は、Ki の元 1 を用いたべき根の添加（x^ni−1=0 の解の添加）として記述でき、
証明の目的である「四則演算とべき根による表現」に適合する。
このように、ζ‗ni の添加は、Ki の元に基づく方程式の解を導入する操作であり、循環論法にはなりません。
結論
ステップXの「ζ‗ni は x^ni−1=0 の解として得られる」という記述は、
Ki の元 1 を用いたべき根の添加を意味し、ζ‗ni 自身を仮定するものではないため、循環論法ではありません。
証明全体は、 K の元から始めて、有限回の四則演算とべき根の添加（x^ni−a=0,a∈Ki）を通じて L を構成する論理に基づいており、自己完結的です。
248(1): 暇人 [] 06/28(土)15:14 ID:4S+Arcik(23/23)
242-247を読む限り、全然わかってないわけではなさそうだが
肝心のところはどうもわかってなさそう
とはいえ、スレ主 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP は
全然カスリもしてないので、それに比べたら全然マシかと
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