大学数学の質問スレ Part1 (393ﾚｽ)
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71: １３２人目の素数さん [] 07/16(水)11:29 ID:xyPtKy2v(2/2)
自分の誤りを認めず
謝りもせず
礼も言わず
掲示板を荒らすこと20年の馬鹿に
進歩なし
72: １３２人目の素数さん [sage] 07/16(水)11:37 ID:narIqqDV(2/2)
>>63
いや、定義を下の記述で書き換えるべきってのが彼の主張だよ
こんな∀がどっかに消し飛んでる定義を書くこと自体がおかしい
73: １３２人目の素数さん [] 07/16(水)12:00 ID:vJ8A76HI(5/7)
松本幸夫著『多様体の基礎』
p.63 命題7.1の別証明
というのがありますが、既に証明した命題7.1の証明と全く同じです。
こういう無意味なことはやめてほしいです。
74: １３２人目の素数さん [] 07/16(水)12:10 ID:vJ8A76HI(6/7)
松本さんは、 (f・φ^{-1})(x_1, …, x_m) を f(x_1, …, x_m) と書いたほうが分かりやすいなどと書いています。
わざわざ混乱するようなことをやっているとしか思えません。
75: １３２人目の素数さん [] 07/16(水)12:26 ID:cQ5f6qxX(1)
松坂くんの書評もどきは全部このパターン
これに加えて著者への罵詈雑言でレスが完結
【自分ですぐ証明できる部分】
短い文章なら「簡潔で良いですね」
長い文章なら「説明がくどすぎます」
【自分では証明できない部分】
本を読んで理解できれば「良い本だと思います」
本を読んでも理解できなければ「何を言いたいのかわかりません」
76(1): １３２人目の素数さん [] 07/16(水)14:21 ID:vJ8A76HI(7/7)
多様体 M というのは抽象的な位相空間で捕らえ所がありません。
結局最終的には、例えば、 M が R^3 の部分集合である2次元多様体の場合などに応用したいと考えているのでしょうか？
77(1): １３２人目の素数さん [] 07/16(水)19:53 ID:p8E4zOsa(1/2)
>>76
イメージ的には開球を適切（問題意識や程度に従って）貼り合わせたものだよ
逆に開球に分けていけるようなものと考えても良い
78(1): １３２人目の素数さん [] 07/16(水)20:02 ID:p8E4zOsa(2/2)
多様体の中にいるところを想像したら分かると思うけど
まわりがR^nっぽい状況ってことね
ああそうか開球はR^nそのものと見ていいから
R^nを適切に貼り合わせたものと言えばいいのか
79(1): １３２人目の素数さん [] 07/19(土)12:14 ID:CS5dgjr3(1/6)
>>77-78
その説明も捕らえ所がありません。
80(2): １３２人目の素数さん [] 07/19(土)12:18 ID:CS5dgjr3(2/6)
松本幸夫著『多様体の基礎』
M を n 次元の位相多様体とする。
m ≠ n であるとき、 M は m 次元の位相多様体ではない。
これは非常に重要な事実だと思います。
ところが、松本さんの本にはこのことが書かれていません。
証明なしでも書くべきことだと思います。
多様体の定義のところで既に教科書として問題があります。
81: １３２人目の素数さん [] 07/19(土)12:23 ID:CS5dgjr3(3/6)
n ≠ m であるとき、 R^n の開集合 U と R^m の開集合 V は同相ではない。
この基本的な事実を示すことが既に難しいということです。
そして、位相多様体の定義では、この事実が重要です。
多様体論の最初のところで既にこのような困難があります。
82(2): １３２人目の素数さん [] 07/19(土)12:41 ID:CS5dgjr3(4/6)
Loring W. Tu著『An Introduction to Manifolds Second Edition』
この本に以下のような説明があります。（多変数の実関数の場合に。）
f が点 a のある近傍で点 a でのテイラー級数
f(x) = f(a) + f'(a) * (x - a) + f''(a)/2! * (x - a)^2 + … + f^{k}(a)/k! * (x - a)^k + …
に等しいとき、 f は点 p で実解析的であるという。
収束べき級数は収束円内において項別微分可能であるから、実解析的関数は必然的に C^∞ である。
これって変ですよね。
f(x) = f(a) + f'(a) * (x - a) + f''(a)/2! * (x - a)^2 + … + f^{k}(a)/k! * (x - a)^k + …
と書いた時点で、 f には点 a での任意階の微分係数が存在するので、 f は点 a の近傍で C^∞ ですよね。
f が点 a のある近傍で点 a でのテイラー級数
f(x) = b_0 + b_1 * (x - a) + b_2 * (x - a)^2 + … + b_k * (x - a)^k + …
に等しいとき、 f は点 p で実解析的であるという。
と書くべきですよね。
83: １３２人目の素数さん [] 07/19(土)17:38 ID:YEzC606F(1/3)
>>79
あ
そ
84: １３２人目の素数さん [] 07/19(土)17:41 ID:YEzC606F(2/3)
>>80
各点のまわりにR^nとR^mと両方置いてみたら
両立しないことは自明に思えるはず
自明でも証明はあっていいけれど
どっちかっていうと不毛な作業
85(1): １３２人目の素数さん [sage] 07/19(土)17:43 ID:3WbaItSK(1/3)
これ証明して
>f には点 a での任意階の微分係数が存在するので、 f は点 a の近傍で C^∞ ですよね。
86(1): １３２人目の素数さん [] 07/19(土)18:05 ID:YEzC606F(3/3)
>>82
C^∞とC^ωの違いは？
87: １３２人目の素数さん [sage] 07/19(土)19:29 ID:3WbaItSK(2/3)
>>80
そもそもこの本は位相多様体の教科書ではない
88(2): １３２人目の素数さん [] 07/19(土)21:05 ID:CS5dgjr3(5/6)
>>85
f(x) = b_0 + b_1 * (x - a) + b_2 * (x - a)^2 + … + b_k * (x - a)^k + …
は収束円内でいくらでも微分可能です。よって、 f は点 a の近傍である収束円の内部で C^∞ です。
89: １３２人目の素数さん [] 07/19(土)21:13 ID:CS5dgjr3(6/6)
>>86
それは有名な反例がありますよね。
x = 0 でいくらでも微分可能で、その任意階数の微分係数の値がすべて 0 であるけれども 0 の任意の近傍で恒等的には 0 にならないような関数が存在します。
この関数が x = 0 の近傍でテイラー展開可能であれば、その近傍で恒等的に 0 でなければなりません。
90(2): １３２人目の素数さん [sage] 07/19(土)21:18 ID:3WbaItSK(3/3)
>>88
これを証明してよ
>f には点 a での任意階の微分係数が存在するので、 f は点 a の近傍で C^∞ ですよね。
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