面白い数学の問題おしえて～な 44問目 (225ﾚｽ)
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1(5): １３２人目の素数さん [sage] 05/01(木)12:31 ID:gmHMkXUG(1)
面白い数学の問題を紹介して解き合うスレです
質問スレではありません
出題者が答えを知らない問題はお控えください
統計学などはスレ違い、数学以外の話題は論外です
荒らし、煽りはスルー推奨
前スレ
面白い数学の問題おしえて～な 43問目
2chｽﾚ:math
まとめwiki
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206(1): １３２人目の素数さん [] 08/12(火)10:06 ID:VI166Ty2(1/2)
自然数nに対して
(1/x)+(1/y)=1/n
を満たす整数x, yの組は奇数組であることを証明せよ
207(1): １３２人目の素数さん [] 08/12(火)13:00 ID:epvPvzIT(1)
>>206
x=yの場合
x=y=2nで成立
x≠yの場合
xとyを入れ替えても成立するので偶数組
よって解の総数は奇数
208: １３２人目の素数さん [] 08/12(火)17:14 ID:VI166Ty2(2/2)
>>207
お見事です
209: １３２人目の素数さん [] 08/12(火)19:22 ID:MToRQVN4(1)
ｎが任意定数なのか、変数なのか？
奇数組って、xとyが奇数の組なのか、組の総数が奇数なのか？
日本語は解り難い言語やな。
210: １３２人目の素数さん [sage] 08/12(火)21:51 ID:9WhM+6C5(1)
何にせよ少なくとも有限個かどうかは示さないとだめくね
211: １３２人目の素数さん [sage] 08/13(水)03:48 ID:IPcCDEha(1)
そういうことではないんじゃない？
xとyを入れ替えたものを除いても確かに奇数組ある
1
=1/2+1/2
1/2
=1/(-2)+1/1
=1/3+1/6
=1/4+1/4
1/3
=1/(-6)+1/2
=1/4+1/12
=1/6+1/6
1/4
=1/(-12)+1/3
=1/(-4)+1/2
=1/5+1/20
=1/6+1/12
=1/8+1/8
212(1): １３２人目の素数さん [sage] 08/13(水)04:03 ID:v773YyBJ(1/5)
a₁ < 2 の場合は初項を a₁/(a₁-1) にとりかえれば第3項以降は同じになるので a₁ ≧ 2 と仮定してよい。Sₙ = Σₖ₌₁ⁿaₖ、Pₙ = Πₖ₌₁ⁿaₖ とする。aₙ₊₁ = Sₙ/(Pₙ-1) が成立する。
213: １３２人目の素数さん [sage] 08/13(水)04:03 ID:v773YyBJ(2/5)
補題 Sₙ = Pₙ
(∵) n=1 では明らかに成立する。n=m で成立すると仮定する。aₘ₊₁ = Sₘ/(Pₘ-1) = Sₘ/(Sₘ-1) であるから Sₘ₊₁ = aₘ₊₁ + Sₘ = Sₘ/(Sₘ-1) + Sₘ = Sₘ²/(Sₘ-1)、Pₘ₊₁ = aₘ₊₁Sₘ = Sₘ/(Sₘ-1)Sₘ = Sₘ²/(Sₘ-1) により n=m+1 でも成立する。□
214: １３２人目の素数さん [sage] 08/13(水)04:03 ID:v773YyBJ(3/5)
補題 n+1 ≦ Sₙ ≦ a₁ + n + log(n)
(∵)
Sₙ₊₁ = Sₙ + 1 + 1/Sₙ + 1/Sₙ² + ...
≦ Sₙ + 1 + 1/(n+1) + 1/(n+1)² + ..
= Sₙ + 1 + 1/n
≦ a + n +1 + log(n) + 1/n
≦ a + n +1 + log(n+1)
Sₙ₊₁ = Sₙ + 1 + 1/Sₙ + 1/Sₙ² + ...
≧ n+2
□
215: １３２人目の素数さん [sage] 08/13(水)04:04 ID:v773YyBJ(4/5)
1/(aₙ-1) = 1/( Sₙ₋₁/(Sₙ₋₁-1) - 1 ) = Sₙ₋₁-1 (∀n≧2 )
216: １３２人目の素数さん [sage] 08/13(水)04:04 ID:v773YyBJ(5/5)
Σₖ₌₁ⁿ1/(aₖ-1) = 1/2n(n+1) + o(n²)
217: １３２人目の素数さん [sage] 08/13(水)15:57 ID:+55xP2/J(1)
lim[n→∞] ∫[1/n,1] {e^(-nx)-1}/{x^(n)} dx
を求めよ。
218: １３２人目の素数さん [] 08/13(水)20:45 ID:nQyqYDxf(1)
n＞r＞sを満たす自然数n, r, sに対し、二項係数nCrとnCsは互いに素ではないことを証明せよ
219: １３２人目の素数さん [] 08/13(水)21:12 ID:YyYKqHVs(1)
>>212 -216
すばらしい。ありがとうございます。
それにひきかえしょーもない書き込みしかできない203ときたら。
220: １３２人目の素数さん [sage] 08/14(木)01:55 ID:itMo6PT5(1)
上で言われてる雑誌の懸賞って話は本当なの？
221: １３２人目の素数さん [] 08/14(木)05:29 ID:/DikW1nE(1)
知らんがな
222: １３２人目の素数さん [] 08/14(木)19:50 ID:/CzpVmg3(1)
出題者本人が否定しないならガチなんだろう
まあ〆切過ぎてるなら別に問題ないけどな
223: １３２人目の素数さん [sage] 08/15(金)12:41 ID:yd6fSpXf(1)
lim[n→∞] ∫[1/n,1] {e^(-nx)-1}/x dx
を求めよ。
224(1): １３２人目の素数さん [sage] 08/15(金)13:20 ID:IcJOCdHO(1)
極限と積分が入れ替えられない問題にしないと意味ないやろ
225: １３２人目の素数さん [sage] 08/15(金)14:13 ID:n4KBK1iW(1)
>>224
私の出題は東大受験生が解くレベルの問題を想定しております
従いまして高校範囲での解答を期待します
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