フェルマーの最終定理の証明

フェルマーの最終定理の証明 (668ﾚｽ)
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649: 与作 [] 08/18(月)12:05 ID:HdXNQXxj(1/3)
n=2のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を無数に持つ。
X^2+Y^2=Z^2をy^2=(x+1)^2-x^2…(1)とおく。(y,xは有理数)
(1)を(y-1)(y+1)=2x…(2)とおく。
(2)は(y-1)=2のとき、(y+1)=xとなる。
(2)は成立つので、(y-1)(y+1)=k2x/kも成立つ。
∴n=2のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を無数に持つ。

650: 与作 [] 08/18(月)12:05 ID:HdXNQXxj(2/3)
n=3のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。
X^3+Y^3=Z^3をy^3=(x+1)^3-x^3…(1)とおく。(y,xは有理数)
(1)を(y-1)(y^2+y+1)=3(x^2+x)…(2)とおく。
(2)は(y-1)=3のとき、(y^2+y+1)=(x^2+x)とならない。
(2)は成立たないので、(y-1)(y^2+y+1)=k3(x^2+x)/kも成立たない。
∴n=3のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。

651: 与作 [] 08/18(月)12:06 ID:HdXNQXxj(3/3)
nが奇素数のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。
X^n+Y^n=Z^nをy^n=(x+1)^n-x^n…(1)とおく。(y,xは有理数)
(1)を(y-1)(y^(n-1)+…+y+1)=n(x^(n-1)+…+x)…(2)とおく。
(2)は(y-1)=nのとき、(y^(n-1)+…+y+1)=(x^(n-1)+…+x)とならない。
(2)は成立たないので、(y-1)(y^(n-1)+…+y+1)=kn(x^(n-1)+…+x)/kも成立たない。
∴nが奇素数のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。

652: １３２人目の素数さん [] 08/19(火)05:59 ID:UNSSr5hH(1/11)
y''+3y'+2y=x
(D^2+3D+2)y=x
D^2+3D+2=(D+2)(D+1)=0 D=-2, D=-1
y_0=C_1 e^(-2x)+C_2 e^(-x)
(D+2)(D+1) y_s=x
y_s=1/(D+2)(D+1) x=1/((D+2) ) 1/((D+1) ) x
=1/((D+2) ) 1/((D-(-1)) ) x=1/(D+2) e^(-x) 1/D e^x x
=1/(D+2) e^(-x) ∫??e^x x? dx=1/(D+2) e^(-x) (e^x x-∫?e^x dx) (e^x )'=e^x
=1/(D+2) e^(-x) (xe^x-e^x )=1/(D+2) (x-1)
=1/((D-(-2)) ) x-1/((D-(-2)) )=e^(-2x) 1/D e^2x x-e^(-2x) 1/D e^2x
=e^(-2x) (∫??(1/2 e^2x )' x? dx)-e^(-2x) 1/2 e^2x
=e^(-2x) (1/2 e^2x x-1/2 ∫?e^2x dx)-1/2
=e^(-2x) (1/2 e^2x x-1/4 e^2x )-1/2=1/2 x-1/4-1/2=1/2 x-3/4
∴y=C_1 e^(-2x)+C_2 e^(-x)+1/2 x-3/4

653: １３２人目の素数さん [] 08/19(火)06:00 ID:UNSSr5hH(2/11)
y'''(x) + 6y''(x) + 12y'(x) + 8y(x) = 5x^2e^(-2x) ･････(#)
y''' + 6y'' + 12y' + 8y = 5x^2e^(-2x), y(0) = 0, y'(0) = 5, y''(0) = 4

D^3 + 6D^2 + 12D + 8 = (D+2)^3 = 0
D = -2（3重解）
Y = (Cx^2+Bx+A)e^(-2x)
　(#)は
((D+2)^3)y = 5(x^2)e^(-2x)
y0 = 5(x^2)e^(-2x)/(D+2)^3
= 5e^(-2x)/( (2+1)(2+2)(2+3) )x^(2+3)
= (x^5/12)e^(-2x)
y(x) = (Cx^2+Bx+A)e^(-2x) + (x^5/12)e^(-2x)
y(0) = 0, y'(0) = 5, y''(0) = 4 のときの特殊解
y(0) = A = 0
y(x) = Cx^2*e^(-2x) + Bx*e^(-2x) + (x^5/12)e^(-2x)
y'(x) = C2xe^(-2x) - 2Cx^2*e^(-2x)
+ B*e^(-2x) - 2Bx*e^(-2x)
+ (5/12)5x^4*e^(-2x) - 2(x^5/12)*e^(-2x)
y'(0) = B = 5
y'(x) = 2Cxe^(-2x) - 2Cx^2*e^(-2x)
+ 5*e^(-2x) - 10x*e^(-2x)
+ (5/12)5x^4*e^(-2x) - 2(x^5/12)*e^(-2x)
y''(x) = 2Ce^(-2x) + 4Cxe^(-2x) - ( 4Cx*e^(-2x) - 2Cx^2(-2)e^(-2x) )
+ (-2)5*e^(-2x) - (10*e^(-2x) - 2*10x*e^(-2x) )
+ (5/12)20x^3*e^(-2x) - 2(5/12)5x^4*e^(-2x)
- ( 2(4x^4/12)*e^(-2x) - 2*2(x^5/12)*e^(-2x) )
y''(0) = 2C - 10 - 10 = 4
C = 12
y(x) = ( 12x^2+5x+(x^5/12) )e^(-2x)

654: １３２人目の素数さん [] 08/19(火)06:06 ID:UNSSr5hH(3/11)
(D^2+1)y=1/(?cos?^3 (x) )
(D^2+1)y=0
λ^2+1=0 λ=0±i
y_0=e^(-0) (C_1 cos(x)+C_2 sin(x))=C_1 cos(x)+C_2 sin(x)

cos(x)=((e^ix+e^(-ix))/2)
1/(cos^3(x))=(2/(e^ix+e^(-ix) ))^3=8/(e^ix+e^(-ix) )^3

(D^2+1) y_s=8/(e^ix+e^(-ix) )^3
(D+i)(D-i) y_s=8/(e^ix+e^(-ix) )^3
y_s=(1/(D+i))(1/(D-i)) 8/(e^ix+e^(-ix) )^3
1/(D-i) 8/(e^ix+e^(-ix) )^3 =8e^ix 1/D e^(-ix) 1/(e^ix+e^(-ix) )^3
=8e^ix ∫e^(-ix)/(e^ix+e^(-ix) )^3 dx
e^(-ix)/(e^ix+e^(-ix) )^3 =(e^3ix e^(-ix))/(e^3ix (e^ix+e^(-ix) )^3 )=e^2ix/((e^ix )^3 (e^ix+e^(-ix) )^3 )
=e^2ix/(e^ix (e^ix+e^(-ix) ))^3 =e^2ix/(e^2ix+1)^3
∴1/(D-i) 8/(e^ix+e^(-ix) )^3 =8e^ix ∫e^(-2ix)/(e^2ix+1)^3 dx
t=e^2ix+1 dt=2ie^2ix dx dx=dt/(2ie^2ix )
∫(8e^2ix)/(e^2ix+1)^3 dx=∫(8e^2ix)/t^3 dt/(2ie^2ix )=∫4/t^3 dt/i
=-∫4i/t^3 dt=-4i∫t^(-3) dt =-4i ?-t?^(-2)/2=2it^(-2)
=2i/(e^2ix+1)^2

655: １３２人目の素数さん [] 08/19(火)06:06 ID:UNSSr5hH(4/11)
y_s=1/(D+i) (2i/(e^2ix+1)^2 )=e^(-ix) 1/D e^ix 2i/(e^2ix+1)^2 =e^(-ix) ∫(2ie^2ix)/(e^2ix+1)^2 dx
t=e^2ix+1 dt=2ie^2ix dx dx=dt/(2ie^2ix )
∫?(2ie^2ix)/(e^2ix+1)^2 dx?=∫?(2ie^2ix)/t^2 dt/(2ie^2ix )?=∫t^(-2) dt=-1/t=-1/(e^2ix+1)
y_s=e^(-ix) ∫(2ie^2ix)/(e^2ix+1)^2 dx=-e^(-ix)/(e^2ix+1)
=(- e^(-ix) (e^(-ix)+e^ix-e^ix ))/(e^(-ix) (e^2ix+1) ) =(- e^(-ix) (e^(-ix)+e^ix )+1)/(e^ix+e^(-ix) )
=- e^(-ix)+1/(e^ix+e^(-ix) )=- e^(-ix)+1/2cos(x)

y=C_1 cos(x)+C_2 sin(x)- e^(-ix)+1/2cos(x)
=C_1 cos(x)+C_2 sin(x)- cos(x)+isin(x)+1/2cos(x)
=(C_1-1)cos(x)+(C_2+i)sin(x)+1/2cos(x)
=Acos(x)+Bsin(x)+1/2cos(x)
y_s=1/2cos(x)
y=C_2 cos(x)+C_1 sin(x)- 1/2 cos(2x) 1/cos(x)
=C_2 cos(x)+C_1 sin(x)- 1/2 (2?cos?^2 (x)-1) 1/cos(x)
=C_2 cos(x)+C_1 sin(x)- (?cos?^2 (x)-1/2)/cos(x)
=C_2 cos(x)+C_1 sin(x)- cos(x)+1/2 1/cos(x)
=(C_2-1)cos(x)+C_1 sin(x)+1/2cos(x)
=Acos(x)+Bsin(x)+1/2cos(x)

656: １３２人目の素数さん [] 08/19(火)06:08 ID:UNSSr5hH(5/11)
y''(t) - 3y'(t) + 2y(t) = e^(-t) ･･･････?（初期条件）y(0) = 1/6, y'(0) = 5/6

【ラプラス変換による解法】
L[y''(t)] = s^2Y(s) - sy(0) - y'(0) = s^2Y(s) - s/6 - 5/6
L[3y'(t)] = 3( sY(s) - y(0) ) = 3sY(s) - 1/2
L[2y(t)] = 2Y(s)
L[e^(-t)] = 1/(s + 1)

s^2Y(s) - s/6 - 5/6 - (3sY(s) -1/2) + 2Y(s) = 1/(s+1)
Y(s)(s^2 - 3s + 2) - s/6 -1/3 = 1/(s+1)
s 1 1
Y(s)(s-1)(s-2) = ─ + ─ + ──
6 3 s+1

s(s+1) + 2(s+1) + 6 s^2 + 3s + 8
= ────────── = ───────
6(s+1) 6(s+1)

s^2 + 3s + 8 A B C
Y(s) = ──────── = ── + ── + ──
6(s+1)(s-1)(s-2) s+1 s-1 s-2

s^2 + 3s + 8 = 6( A(s-1)(s-2) + B(s+1)(s-2) + C(s+1)(s-1) )
s = -1 のとき 1 - 3 + 8 = 6A(-2)(-3) 36A = 6 A = 1/6
s = 1 のとき 1 + 3 + 8 = 6B(2)(-1) -12B = 12 B = -1
s = 2 のとき 4 + 6 + 8 = 6C(3)(1) 18C = 18 C = 1

657: １３２人目の素数さん [] 08/19(火)06:08 ID:UNSSr5hH(6/11)
したがって
1/6 1 1
Y(s) = ── - ── + ──
s+1 s-1 s-2
　逆ラプラス変換して
y(t) = -e^t + e^(2t) + (1/6)e^(-t)

【演算子法による解法】
　特性方程式は
k^2 -3k + 2 = (k-1)(k-2) = 0 k = 1, 2
なので
y''(t) - 3'y(t) + 2y(t) = 0
の一般解 y0 は
y0 = C1e^t + C2e^(2t)
　?の特殊解をv(t)とすると
v(t) = 1/(D-1)(D-2)*e^(-t)
= 1/(D-2)*e^(-t) - 1/(D-1)*e^(-t)
= (-1/3)e^(-t) + (1/2)e^(-t) = (1/6)e^(-t)
　よって?の一般解は
y(t) = C1e^t + C2e^(2t) + (1/6)e^(-t)
y(0) = C1 + C2 + 1/6 = 1/6
C1 + C2 = 0 …… ?
y'(t) = C1e^t + C2*2e^(2t) - (1/6)e^(-t)
y'(0) = C1 + C2*2 - 1/6 = 5/6
C1+ 2C2 = 1……?
　??より
C1 = -1, C2= 1
　初期値を満たす特殊解を改めて y とおくと
y(t) = -e^t +e^(2t) + (1/6)e^(-t)

658: １３２人目の素数さん [] 08/19(火)06:10 ID:UNSSr5hH(7/11) AA×

659: １３２人目の素数さん [] 08/19(火)06:10 ID:UNSSr5hH(8/11) AA×

660: 与作 [] 08/19(火)10:37 ID:0I4aqNXf(1/6)
n=2のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を無数に持つ。
X^2+Y^2=Z^2をy^2=(x+1)^2-x^2…(1)とおく。(y,xは有理数)
(1)を(y-1)(y+1)=2x…(2)とおく。
(2)は(y-1)=2のとき、(y+1)=xとなる。
(2)は成立つので、(y-1)(y+1)=k2x/kも成立つ。
∴n=2のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を無数に持つ。

661: 与作 [] 08/19(火)10:38 ID:0I4aqNXf(2/6)
n=3のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。
X^3+Y^3=Z^3をy^3=(x+1)^3-x^3…(1)とおく。(y,xは有理数)
(1)を(y-1)(y^2+y+1)=3(x^2+x)…(2)とおく。
(2)は(y-1)=3のとき、(y^2+y+1)=(x^2+x)とならない。
(2)は成立たないので、(y-1)(y^2+y+1)=k3(x^2+x)/kも成立たない。
∴n=3のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。

662: 与作 [] 08/19(火)10:39 ID:0I4aqNXf(3/6)
nが奇素数のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。
X^n+Y^n=Z^nをy^n=(x+1)^n-x^n…(1)とおく。(y,xは有理数)
(1)を(y-1)(y^(n-1)+…+y+1)=n(x^(n-1)+…+x)…(2)とおく。
(2)は(y-1)=nのとき、(y^(n-1)+…+y+1)=(x^(n-1)+…+x)とならない。
(2)は成立たないので、(y-1)(y^(n-1)+…+y+1)=kn(x^(n-1)+…+x)/kも成立たない。
∴nが奇素数のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。

663: １３２人目の素数さん [] 08/19(火)19:49 ID:UNSSr5hH(9/11)
E(t)=Ri(t)+1/C ∫?i(t) dt
i(t)=dq(t)/dt ∫?dq(t)/dt dt=q(t)
E(t)=R dq(t)/dt+q(t)/C
L[Rq^' ]=RsQ(s)-Rq(0)=RsQ(s)
L[q(t)/C]=Q(s)/C L[E]=E/s
E/s=RsQ(s)+Q(s)/C=Q(s)(Rs+1/C)
Q(s)= E/s 1/(Rs+1/C)=E/s(Rs+1/C) =(E/R)/s(s+1/CR) =E/R 1/s(s+1/CR)
1/s(s+1/CR) =A/s+B/(s+1/CR) 1=A(s+1/CR)+Bs
s=0⇒A/CR=1 A=CR
s=-1/CR⇒-B 1/CR=1 B=-CR
Q(s)=E/R (A/s+B/(s+1/CR))=E/R (CR/s-CR/(s+1/CR))=CE/s-CE/(s+1/CR)
L^(-1) [CE/s-CE/(s+1/CR)]=CE(L^(-1) [1/s-1/(s+1/CR)])=CE(1-e^(-1/CR t) )

664: １３２人目の素数さん [] 08/19(火)19:51 ID:UNSSr5hH(10/11)
y''+ 2y' + 5y = 10cos(t)

y''+ 2y' + 5y = 0
y0 = e^(-t)( C1cos(2t) + C2sin(2t) )

e^iat/φ(D) = e^iat/φ(ia) …… (2)
　(1)の特殊解を v とすると
(D^2+2D+5)v = 10e^it
　(2)を使って
10e^it/(D^2+2D+5)
2cos(t) - icos(t) - 2isin(t) + sin(t)
v = 2cos(t) + sin(t)
y = e^(-t)( C1cos(2t) + C2sin(2t) ) + 2cos(t) + sin(t)

665: 与作 [] 08/19(火)20:37 ID:0I4aqNXf(4/6)
n=2のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を無数に持つ。
X^2+Y^2=Z^2をy^2=(x+1)^2-x^2…(1)とおく。(y,xは有理数)
(1)を(y-1)(y+1)=2x…(2)とおく。
(2)は(y-1)=2のとき、(y+1)=xとなる。
(2)は成立つので、(y-1)(y+1)=k2x/kも成立つ。
∴n=2のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を無数に持つ。

666: 与作 [] 08/19(火)20:38 ID:0I4aqNXf(5/6)
n=3のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。
X^3+Y^3=Z^3をy^3=(x+1)^3-x^3…(1)とおく。(y,xは有理数)
(1)を(y-1)(y^2+y+1)=3(x^2+x)…(2)とおく。
(2)は(y-1)=3のとき、(y^2+y+1)=(x^2+x)とならない。
(2)は成立たないので、(y-1)(y^2+y+1)=k3(x^2+x)/kも成立たない。
∴n=3のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。

667: 与作 [] 08/19(火)20:38 ID:0I4aqNXf(6/6)
nが奇素数のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。
X^n+Y^n=Z^nをy^n=(x+1)^n-x^n…(1)とおく。(y,xは有理数)
(1)を(y-1)(y^(n-1)+…+y+1)=n(x^(n-1)+…+x)…(2)とおく。
(2)は(y-1)=nのとき、(y^(n-1)+…+y+1)=(x^(n-1)+…+x)とならない。
(2)は成立たないので、(y-1)(y^(n-1)+…+y+1)=kn(x^(n-1)+…+x)/kも成立たない。
∴nが奇素数のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。

668: １３２人目の素数さん [] 08/19(火)22:08 ID:UNSSr5hH(11/11)
∇=(∂/∂x ,∂/∂y), ∇f=(∂f/∂x ,∂f/∂y)
(1)∇(C_1 f+C_2 g)=C_1 ∇f+C_2 ∇g
∇(C_1 f+C_2 g)=(∂(C_1 f+C_2 g)/∂x ,∂(C_1 f+C_2 g)/∂y)
=(C_1 ∂f/∂x+C_2 ∂g/∂x ,C_1 ∂f/∂y+C_2 ∂g/∂y)
=C_1 (∂f/∂x ,∂f/∂y)+C_2 (∂g/∂x ,∂g/∂y)
(2)∇(fg)=(∇f)g+f(∇g)
∇(fg)=(∂fg/∂x ,∂fg/∂y)=(∂f/∂x g+f ∂g/∂x, ∂f/∂y g+f ∂g/∂y)
=(∂f/∂x,∂f/∂y)g+f(∂g/∂x,∂g/∂y)=(∇f)g+f(∇g)
(3)∇(f/g)=((∇f)g-f(∇g))/g^2
∇(f/g)=(∂/∂x (f/g) ,∂/∂y (f/g))
=1/g^2 ((∂f/∂x g-f ∂g/∂x) ,(∂f/∂y g-f ∂g/∂y))

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