[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ13 (1002ﾚｽ)
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1(8): １３２人目の素数さん [] 02/01(土)08:43 ID:lDxwqd7y(1/16)
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2chｽﾚ:math
前スレ ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12
このスレは、ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレです
関連は、だいたい何でもありです（現代ガロア理論＆乗数イデアル関連他文学論・囲碁将棋まであります）
資料としては、まずはこれ
https://sites.google.com/site/galois1811to1832/
ガロアの第一論文を読む
渡部 一己 著 （2018.1.28）
PDF
https://sites.google.com/site/galois1811to1832/galois-1.pdf?attredirects=0
＜乗数イデアル関連＞
ガロア第一論文及びその関連の資料スレ
2chｽﾚ:math 以降ご参照
https://en.wikipedia.org/wiki/Multiplier_ideal Multiplier ideal
https://mathoverflow.net/questions/142937/motivation-for-multiplier-ideal-sheaves motivation for multiplier ideal sheaves asked Sep 23, 2013 Koushik
＜層について＞
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B1%A4_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
層 (数学)
https://en.wikipedia.org/wiki/Sheaf_(mathematics)
Sheaf (mathematics)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Faisceau_(math%C3%A9matiques)
Faisceau (mathématiques)
あと、テンプレ順次
つづく
983: １３２人目の素数さん [] 02/16(日)09:52 ID:XssMUT1p(1/17)
>>981
>Q 行列同士の同値関係の例を２つ示し、それぞれの同値類での不変量を示せ
いい問題 このくらい 即答してほしいね
984: １３２人目の素数さん [] 02/16(日)15:30 ID:189U+xhH(1)
一所懸命検索中
985: １３２人目の素数さん [] 02/16(日)16:03 ID:XssMUT1p(2/17)
時間切れ
AとBが対等 ≡ ある正則行列P,Qが存在しB＝QAP
AとBが相似 ≡ ある正則行列P が存在しB＝P^(-1)AP
相似であれば対等だが、逆は正しくない
AとBが対等な場合の不変量 階数rank
AとBが相似な場合の不変量 階数rank，行列式det，トレースtr
固有多項式（およびその根である固有値）、最小多項式※
※固有値が等しくても、最小多項式が異なる場合、相似でない
986: １３２人目の素数さん [] 02/16(日)21:02 ID:XssMUT1p(3/17)
一般次数の n次正方行列についてのケイリー・ハミルトンの定理の証明には、いくつかの方法がある。
987: １３２人目の素数さん [] 02/16(日)21:04 ID:XssMUT1p(4/17)
A の固有多項式を pA(t)=det(tIn−A), 固有値を λ1, …, λn とする。
pA(t)=(t−λ1)⋯(t−λn)
988: １３２人目の素数さん [] 02/16(日)21:10 ID:XssMUT1p(5/17)
A を上三角化した行列を B とする。このとき対角成分に固有値 λ1, …, λn が並ぶ：
pA(A)=(A−λ1I)⋯(A−λnI)=(PBP^−1−λ1I)⋯(PBP^−1−λnI)=P{(B−λ1I)⋯(B−λnI)}P^−1⋯(1)
ここで
pB(B)=(B−λ1I)⋯(B−λnI)
を計算する。
989: １３２人目の素数さん [] 02/16(日)21:13 ID:XssMUT1p(6/17)
Ck:=B-λkI (k=1,2,…,n)とおく。
Ck は上三角行列で、(k, k) 成分は 0 である。
C1C2を計算すると、第2列までは成分が全て 0 になる。
同様にして、帰納的に、Ckを掛けると、第k列までの成分は全て 0 になる。
これを n番目まで繰り返すことにより
C1…Cn=O
990: １３２人目の素数さん [] 02/16(日)21:14 ID:XssMUT1p(7/17)
故に (1) は
P(C1⋯Cn)P^−1=O
（証明終）
991: １３２人目の素数さん [] 02/16(日)21:16 ID:XssMUT1p(8/17)
n次正方行列の固有多項式において、
i次の係数 ci は A の固有値たちのなす (n − i)次基本対称式に等しい。
特に、定数項（0次の係数）c0 は固有値の総乗ゆえ
A の行列式 detA に等しい。
992: １３２人目の素数さん [] 02/16(日)21:20 ID:XssMUT1p(9/17)
ニュートンの公式（英語版）を用いると、基本対称式は冪和対称式で書き表せるから、
上記の ci は固有値の冪和対称式
sk=?(i=1〜n)λi^k
たちで表されると分かるが、
sk=Σ(i=1〜n)λi^k=tr(A^k)
である。
したがって、ci は Ak のトレースたちで書き表せる。
特に c(n-1)=tr(A) である。
993: １３２人目の素数さん [] 02/16(日)21:21 ID:XssMUT1p(10/17)
ケイリー・ハミルトンの定理により、
一般の n次正則行列 A（つまり A の行列式は 0 でない）に対し、
その逆行列 A−1 は A の n − 1次以下の行列多項式で表せる。
994: １３２人目の素数さん [] 02/16(日)21:22 ID:XssMUT1p(11/17)
ケイリー・ハミルトンの定理は A の冪の間に成り立つ
（最も とは限らないが）関係を記述するものであるから、
それにより A の十分大きな指数の冪を含む式の計算において、
式を簡単化して A の（n 以上の指数が大きな）冪を
直接計算することなく値を評価することができるようになる。
995: １３２人目の素数さん [] 02/16(日)21:24 ID:XssMUT1p(12/17)
ケイリー・ハミルトンの定理により p(A) = O だから、
ある種の剰余の定理：f(A)=r(A)が成り立つ。
ゆえに、行列変数の解析函数は各行列 A ごとに
n 次以下の行列多項式として書き表される。
996: １３２人目の素数さん [] 02/16(日)21:36 ID:XssMUT1p(13/17)
f(A)=e^At
(A
=(0 1)
(−1 0))
を考える。
997: １３２人目の素数さん [] 02/16(日)21:37 ID:XssMUT1p(14/17)
A の固有多項式は p(x) = x2 + 1, 固有値は λ = ±i である。
998: １３２人目の素数さん [] 02/16(日)21:38 ID:XssMUT1p(15/17)
固有値における値に関する連立方程式
e^ it = c0 + ic1
e^−it = c0 − ic1
を解いて、
c0 = (e^it + e^−it)/2 = cos(t)
c1 = (e^it − e^−it)/2i = sin(t)
を得る。
999: １３２人目の素数さん [] 02/16(日)21:40 ID:XssMUT1p(16/17)
この場合の
e^At=(cos t)I2+(sin t)A
=
(cost sint)
(−sint cost)
は回転行列である。
1000: １３２人目の素数さん [] 02/16(日)21:41 ID:XssMUT1p(17/17)
完
1001(1): 1001 [] ID:Thread(1/2)
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life time: 15日 12時間 58分 11秒
1002(1): 1002 [] ID:Thread(2/2)
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