ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ13

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147(1): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 02/04(火)16:34 ID:+HgMDnV2(6/11)
つづき

Proof that every vector space has a basis
Let V be any vector space over some field F. Let X be the set of all linearly independent subsets of V.

The set X is nonempty since the empty set is an independent subset of V, and it is partially ordered by inclusion, which is denoted, as usual, by ⊆.

Let Y be a subset of X that is totally ordered by ⊆, and let LY be the union of all the elements of Y (which are themselves certain subsets of V).

Since (Y, ⊆) is totally ordered, every finite subset of LY is a subset of an element of Y, which is a linearly independent subset of V, and hence LY is linearly independent. Thus LY is an element of X. Therefore, LY is an upper bound for Y in (X, ⊆): it is an element of X, that contains every element of Y.

As X is nonempty, and every totally ordered subset of (X, ⊆) has an upper bound in X, Zorn's lemma asserts that X has a maximal element. In other words, there exists some element Lmax of X satisfying the condition that whenever Lmax ⊆ L for some element L of X, then L = Lmax.

It remains to prove that Lmax is a basis of V. Since Lmax belongs to X, we already know that Lmax is a linearly independent subset of V.

If there were some vector w of V that is not in the span of Lmax, then w would not be an element of Lmax either. Let Lw = Lmax ∪ {w}. This set is an element of X, that is, it is a linearly independent subset of V (because w is not in the span of Lmax, and Lmax is independent). As Lmax ⊆ Lw, and Lmax ≠ Lw (because Lw contains the vector w that is not contained in Lmax), this contradicts the maximality of Lmax. Thus this shows that Lmax spans V.

Hence Lmax is linearly independent and spans V. It is thus a basis of V, and this proves that every vector space has a basis.

This proof relies on Zorn's lemma, which is equivalent to the axiom of choice. Conversely, it has been proved that if every vector space has a basis, then the axiom of choice is true.[9] Thus the two assertions are equivalent.
(引用終り)
以上

148(2): １３２人目の素数さん [] 02/04(火)16:40 ID:R6/c8E8d(2/2)
実数空間RはQ上の線型空間だが、
その基底は選択公理によってその存在が示されるだけであり、
具体的な構成はできない

Hamel基底
https://mathlandscape.com/hamel/

ちなみに上記の基底の濃度は連続体濃度（つまり非可算）

言っておくが、任意の実数は、1,1/2,1/4,…,1/2^n,…の有理数倍の級数で表せるが
線型和は有限和なので、基底が連続体濃度であることとの矛盾は全くない
（有限和と無限和を区別しない素人はギャアギャア騒ぐが
　数学理解できない○○なのでほっといてよし）

149(1): １３２人目の素数さん [] 02/04(火)16:55 ID:pcU2dT60(1)
>>148
R上の多項式全体を、R上の線形空間としてみたとき、その基底はあきらかに1,x,x^2,…である　一方
R上の形式的ベキ級数全体を、R上の線形空間としてみたとき、その基底は存在するが誰も書き表せない

そんな馬鹿な？！といった奴は有限和と無限和が全く区別できない正真正銘の馬鹿

150(1): １３２人目の素数さん [] 02/04(火)16:57 ID:qp4hVvDG(1)
線形空間の基底と、線型位相空間の基底は、異なる
前者は有限和しか考えないが、後者は無限和を考える
線形「位相」空間という所以である

151(6): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 02/04(火)16:58 ID:+HgMDnV2(7/11)
>>137-140
>＞選択関数を好きに構成できると？
>　「構成」はできない
>　ただ、考えられる選択関数は無数にある

ありがとうございます。

１）そもそも、公理とは条件さえ許せば無制限に適用できる
　存在定理（公理）とは、ある条件の数学対象が存在することを主張する
　その数学対象は、存在定理の場合には、具体的な構成が与えられていない
　が、具体的な構成が与えられる場合を含んでよい（そうしなければ、構成の有無で場合分けが必要なるｗ）
　有限集合と、無限集合の区別も同様で、選択公理は無限集合限定という制約はない（勝手に無限集合限定の制約があると思い込む人あり）
　存在は、一つに限らない。当然一つの場合もあるだろうが、限られない
（例えば、単元集合 {xi} i∈λ の選択関数は一意だが、二元集合 {xi,xj} i,j∈λに対する選択関数は一意ではなくなる）
２）こういう、当たり前の理解がすべって錯乱している人がいる気がする

152: １３２人目の素数さん [] 02/04(火)17:01 ID:6TW5wyv6(2/3)
>>151
＞選択公理は無限集合限定という制約はない
　選択公理をつかわなくても証明できる場合に
　選択公理をつかうのは工学部卒のオチコボレの貴様だけ

153: １３２人目の素数さん [] 02/04(火)17:02 ID:6TW5wyv6(3/3)
すべってるのは論理がわからんド素人の◆yH25M02vWFhPだけ

154: １３２人目の素数さん [sage] 02/04(火)17:08 ID:RA31AKiv(1)
このスレは>>1がボケになる漫才になっているね
これが5ちゃんをお笑いにしようとする>>1の狙い
大阪にはそういうお笑いの風土や文化がある

155: １３２人目の素数さん [] 02/04(火)17:20 ID:kyySIsuH(10/19)
>>151
>１）そもそも、公理とは条件さえ許せば無制限に適用できる
大間違い
公理とは証明無しで正しいと認める命題

156(1): １３２人目の素数さん [] 02/04(火)17:31 ID:kyySIsuH(11/19)
>>151
>１）そもそも、公理とは条件さえ許せば無制限に適用できる
大間違い
公理はその適用対象を何も規定していない
だから命題ごとに個別に規定要（理論ごと規定する場合は「以下、断り無き場合〇〇公理を前提とする」などと表記）

157(1): １３２人目の素数さん [] 02/04(火)17:38 ID:kyySIsuH(12/19)
>>151
>その数学対象は、存在定理の場合には、具体的な構成が与えられていない
>が、具体的な構成が与えられる場合を含んでよい
選択公理は選択関数が存在するとしか主張していないから、具体的に構成できることを否定していないことは自明過ぎて語るに及ばず
あなたは馬鹿なんですか？

158(1): １３２人目の素数さん [] 02/04(火)17:41 ID:kyySIsuH(13/19)
>>151
>存在は、一つに限らない。
選択公理は選択関数が存在するとしか主張していないから、一つに限定していないことは自明過ぎて語るに及ばず
あなたは馬鹿なんですか？

159: 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 02/04(火)17:48 ID:+HgMDnV2(8/11)
>>148-150
>線形空間の基底と、線型位相空間の基底は、異なる
>前者は有限和しか考えないが、後者は無限和を考える
>線形「位相」空間という所以である

下記だね
ja.wikipedia 基底 (線型代数学) 及び河東泰之，線形代数と関数解析学
『かわりに有用なのは，任意のベクトルを無限個のベクトルの線形結合で表すことである．ヒルベルト空間では，これを実現する正規直交基底を取ることがいつでもでき，有限次元空間とよく似た話が無限次元でも展開できる．フーリエ級数はその具体例として大変重要なものである．』
だね

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9F%BA%E5%BA%95_(%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6)
基底 (線型代数学)
関連概念
解析学
そのような基底の概念で極めて重要なものとしては、ヒルベルト空間上の正規直交基底やノルム線型空間上のシャウダー基底（英語版）およびマルクシェヴィチ基底（英語版）が挙げられる。

これらの基底概念に共通する特徴は、全体空間を生成するのに基底ベクトルの無限線型結合までを許すことである。
これにはもちろん、無限和が意味を持つような空間（位相線型空間）を考えることが必要である。
位相線型空間は非常に広範なベクトル空間のクラスであり、例えばヒルベルト空間やバナッハ空間あるいはフレシェ空間といったものを含む。

無限次元空間に対してこれら異種の基底が優先されるのは、バナッハ空間においてはハメル基底は「大きすぎる」という事実によるものである。即ち、X が完備な無限次元ノルム空間（つまりバナッハ空間）のとき、X の任意のハメル基底が非可算となることがベールの範疇定理から従う。先の主張における完備性の仮定は無限次元の仮定同様に重要である。

例
フーリエ級数論において、函数系 {1} ∪ {sin(nx), cos(nx) : n = 1, 2, 3, …} が、区間 [0, 2π] 上の実（または複素）数値自乗可積分函数、即ち
略す
を満たす函数全体の成す実（または複素）線型空間の「正規直交基底」となることを知るはずである。

つづく

160(2): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 02/04(火)17:48 ID:+HgMDnV2(9/11)
つづき

https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~yasuyuki/
河東泰之(かわひがしやすゆき) (Google Scholar Page)
https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~yasuyuki/surikagaku.htm
河東泰之の「数理科学」古い記事リスト
https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~yasuyuki/suri0806.pdf
6.河東泰之，線形代数と関数解析学，「数理科学」 Vol.46-6, pp.39-43, サイエンス社，2008

1. はじめに
線形代数は線形空間とその上の線形作用素を取り扱う．
ごく基礎的な部分は線形空間が有限次元でも無限次元でも違いはないが，線形代数の中心的な話題，すなわち対角化，ジョルダン標準形，ランクの話などは，線形空間が有限次元でないと話がうまく進まない．
そもそも行列を具体的に書く話が線形代数の中心であり，無限サイズの行列は最初から話に入っていない．
この意味で通常の線形代数は有限次元の理論であると言ってもさしつかえない．
これを無限次元で考察するのが関数解析学である．
しかし，単に無限次元の線形空間やその上の線形作用素を考えたのでは，手がかりが少なすぎて，意味のある一般論はほとんど何も展開できない．
そこで新たな手法が必要になる．それが収束の概念である．
これを導入し，位相的な考察を加えた無限次元の線形代数が関数解析学である．
そもそもなぜ「関数」解析というのだろうか．それはさまざまな関数のなす無限次元空間が基本的な対象だからである．
関数解析学成立の重要な動機を与えたのは，微分(あるいは積分)方程式と量子力学である．
これら二つについては本号の特集でそれぞれ別に記事があるのでここでは詳しいことは書かないが，
前者については関数が出てくるのは当然であり，後者についてもさまざまな関数が物理的状態を表すものとして現れることに注意しておこう．
以下，線形代数が無限次元でどのような形を取るのか見ていくことにする．

2. ヒルベルト空間とバナッハ空間
まず線形作用素の前に線形空間がなければ話が始まらない．通常の線形代数では，基底の話は重要であるが，それ以外にはあまり中身のある話はない．たとえば線形空間の公理自体にたいして中身があるわけではない．通常の微分積分学では，数列の収束が基本的な概念である．
略
線形空間としての基底，すなわち任意のベクトルを有限個の基底ベクトルの線形結合で表せるものはいつでも存在するが，無限次元線形空間でそのようなものを考えてもほとんど役に立たない．
かわりに有用なのは，任意のベクトルを無限個のベクトルの線形結合で表すことである．ヒルベルト空間では，これを実現する正規直交基底を取ることがいつでもでき，有限次元空間とよく似た話が無限次元でも展開できる．フーリエ級数はその具体例として大変重要なものである．
これに対し，一般のバナッハ空間の設定では基底の一般論はやっかいであり，あまりはっきりした結果は得られない．
ノルムがうまく定められないが自然に位相の入る線形空間もあり，さまざまなクラスが研究されているが簡単のためここでは省略する．
以下略
(引用終り)
以上

161: １３２人目の素数さん [] 02/04(火)17:49 ID:kyySIsuH(14/19)
>>151
>２）こういう、当たり前の理解がすべって錯乱している人がいる気がする
妄想が見えるようですね。病院行った方が良いのでは？

162: １３２人目の素数さん [] 02/04(火)17:50 ID:kyySIsuH(15/19)
治らないコピペ癖と妄想癖

163(3): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 02/04(火)18:03 ID:+HgMDnV2(10/11)
>>156-158
選択公理および選択関数について
トンチンカンな発言をしている人がいた
だから、当たり前のことを、強調しただけですよ（＾＾

>だから命題ごとに個別に規定要（理論ごと規定する場合は「以下、断り無き場合〇〇公理を前提とする」などと表記）

大体は、ほぼ ZFCベース
だから、特に断りがない場合は、ZFCベースがデフォ（デフォルト）ですよ

たまに、「この証明には、選択公理が必要」とか、後出しで注意を書く場合あり（＾＾

164: １３２人目の素数さん [] 02/04(火)18:07 ID:kyySIsuH(16/19)
>>163
>選択公理および選択関数について
>トンチンカンな発言をしている人がいた
妄想でないならレス番号教えて

165: １３２人目の素数さん [] 02/04(火)18:08 ID:kyySIsuH(17/19)
>>163
>選択公理および選択関数について
>トンチンカンな発言をしている人がいた
好きな順番に整列できるとか、aαを使ってfを定義するとか言ってる人ならいましたけど

166: １３２人目の素数さん [] 02/04(火)18:10 ID:kyySIsuH(18/19)
>>163
>大体は、ほぼ ZFCベース
>だから、特に断りがない場合は、ZFCベースがデフォ（デフォルト）ですよ
治らない妄想癖

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