米田の補題 (15ﾚｽ)
米田の補題 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738287124/
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1: １３２人目の素数さん [] 2025/01/31(金) 10:32:04.21 ID:N8gFsWd9 米田の補題について語ろう http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738287124/1
2: １３２人目の素数さん [] 2025/01/31(金) 10:43:47.70 ID:S6CA78FC Cを圏。ただし、Cの任意の対象X, Yに対して、射の集まりHom_C(X, Y)は集合であるとする。 (Sets)を、集合を対象とし、集合X, Yに対してHom_(Sets)(X, Y)はXからYへの写像全体とする。 AをCの対象とする。Cから(Sets)への関手h_Aを、 X∈ob(C)に対して、h_A(X) := Hom_C(A, X) X, Y∈ob(C)、f∈Hom_C(X, Y)、a∈h_A(X)に対して、h_A(f)(a) := f . a∈h_A(Y) と定める。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738287124/2
3: １３２人目の素数さん [] 2025/01/31(金) 10:48:26.54 ID:S6CA78FC FをCから(Sets)への共変関手、Nat(h_A, F)をh_AからFへの自然変換全体の集合とする。このとき、全単射 Y: Nat(h_A, F) ～ F(A) が存在する。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738287124/3
4: １３２人目の素数さん [sage] 2025/01/31(金) 11:09:18.95 ID:RjxG7czP 圏論唯一の定理 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738287124/4
5: １３２人目の素数さん [sage] 2025/01/31(金) 11:13:15.71 ID:RjxG7czP 圏論の最強定理 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738287124/5
6: １３２人目の素数さん [] 2025/01/31(金) 14:44:42.08 ID:OIiDTmWG 補題と言っとるではないか なぜ定理と言うか http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738287124/6
7: １３２人目の素数さん [] 2025/01/31(金) 15:43:38.57 ID:8mbwPSfp τをh_AからFへの自然変換とする。 XをCの任意の対象とし、 f∈h_A(X)とする。 f = f . id_A = h_A(f)(id_A)であり、 τ_A h_A(A) → F(A) ↓h_A(f) ↓F(f) h_A(X) → F(X) τ_X が可換なので、 τ_X(f) = (τ_X . h_A(f))(id_A) = (F(f) . τ_A)(id_A) = F(f)(τ_A(id_A)) よって、τ_A(id_A)がわかれば、τは決定される。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738287124/7
8: １３２人目の素数さん [] 2025/01/31(金) 17:43:27.93 ID:PN2SYuFX >>4,5 勉強が足りない http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738287124/8
9: １３２人目の素数さん [sage] 2025/01/31(金) 17:48:48.02 ID:RjxG7czP >>8 最強の定理は何ですか？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738287124/9
10: １３２人目の素数さん [] 2025/01/31(金) 17:59:27.02 ID:Z6BvUlyL FをCから(Sets)への関手とし、AをCの対象とする。 FがAにより表現可能であるとは、自然同型τ: h_A ～ Fが存在することである。 このとき、(A, τ_A(id_A))をFの普遍元という。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738287124/10
11: １３２人目の素数さん [sage] 2025/01/31(金) 18:07:57.57 ID:RjxG7czP 米田の補題 https://alg-d.com/math/kan_extension/yoneda.pdf http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738287124/11
12: １３２人目の素数さん [] 2025/01/31(金) 18:51:35.13 ID:3rJsJjZB 証明は自明 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738287124/12
13: １３２人目の素数さん [] 2025/01/31(金) 21:06:33.05 ID:JKC+RYc2 C = (Sets) P: C → (Sets)は、集合Xに対してXのべき集合を対応させる。射f: X → Yに対して、P(f): P(Y) → P(X)を、P(f)(U) := f^(-1)(U) (U∈P(Y))で定める。 PはCから(Sets)への反変関手になる。 PはA = {0, 1}∈ob(C)によって表現される。 実際、f∈Hom(X, A)とf^{-1}({1})∈P(X)が1対1に対応する。 普遍元は(A, {1}) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738287124/13
14: １３２人目の素数さん [] 2025/02/03(月) 13:54:40.75 ID:j/OJCPUZ >>9 園児ですか？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738287124/14
15: １３２人目の素数さん [] 2025/02/06(木) 00:23:18.65 ID:iDX/wkEu >>4,5 その通り！ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738287124/15
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