米田の補題 (15ﾚｽ)
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1: １３２人目の素数さん [] 01/31(金)10:32 ID:N8gFsWd9(1)
米田の補題について語ろう
2: １３２人目の素数さん [] 01/31(金)10:43 ID:S6CA78FC(1/2)
Cを圏。ただし、Cの任意の対象X, Yに対して、射の集まりHom_C(X, Y)は集合であるとする。
(Sets)を、集合を対象とし、集合X, Yに対してHom_(Sets)(X, Y)はXからYへの写像全体とする。
AをCの対象とする。Cから(Sets)への関手h_Aを、
X∈ob(C)に対して、h_A(X) := Hom_C(A, X)
X, Y∈ob(C)、f∈Hom_C(X, Y)、a∈h_A(X)に対して、h_A(f)(a) := f . a∈h_A(Y)
と定める。
3: １３２人目の素数さん [] 01/31(金)10:48 ID:S6CA78FC(2/2)
FをCから(Sets)への共変関手、Nat(h_A, F)をh_AからFへの自然変換全体の集合とする。このとき、全単射
Y: Nat(h_A, F) ～ F(A)
が存在する。
4(2): １３２人目の素数さん [sage] 01/31(金)11:09 ID:RjxG7czP(1/4)
圏論唯一の定理
5(2): １３２人目の素数さん [sage] 01/31(金)11:13 ID:RjxG7czP(2/4)
圏論の最強定理
6: １３２人目の素数さん [] 01/31(金)14:44 ID:OIiDTmWG(1)
補題と言っとるではないか
なぜ定理と言うか
7: １３２人目の素数さん [] 01/31(金)15:43 ID:8mbwPSfp(1)
τをh_AからFへの自然変換とする。
XをCの任意の対象とし、 f∈h_A(X)とする。
f = f . id_A = h_A(f)(id_A)であり、
τ_A
h_A(A) → F(A)
↓h_A(f) ↓F(f)
h_A(X) → F(X)
τ_X
が可換なので、
τ_X(f)
= (τ_X . h_A(f))(id_A)
= (F(f) . τ_A)(id_A)
= F(f)(τ_A(id_A))
よって、τ_A(id_A)がわかれば、τは決定される。
8(1): １３２人目の素数さん [] 01/31(金)17:43 ID:PN2SYuFX(1)
>>4,5
勉強が足りない
9(1): １３２人目の素数さん [sage] 01/31(金)17:48 ID:RjxG7czP(3/4)
>>8
最強の定理は何ですか？
10: １３２人目の素数さん [] 01/31(金)17:59 ID:Z6BvUlyL(1)
FをCから(Sets)への関手とし、AをCの対象とする。
FがAにより表現可能であるとは、自然同型τ: h_A ～ Fが存在することである。
このとき、(A, τ_A(id_A))をFの普遍元という。
11: １３２人目の素数さん [sage] 01/31(金)18:07 ID:RjxG7czP(4/4)
米田の補題
https://alg-d.com/math/kan_extension/yoneda.pdf
12: １３２人目の素数さん [] 01/31(金)18:51 ID:3rJsJjZB(1)
証明は自明
13: １３２人目の素数さん [] 01/31(金)21:06 ID:JKC+RYc2(1)
C = (Sets)
P: C → (Sets)は、集合Xに対してXのべき集合を対応させる。射f: X → Yに対して、P(f): P(Y) → P(X)を、P(f)(U) := f^(-1)(U) (U∈P(Y))で定める。
PはCから(Sets)への反変関手になる。
PはA = {0, 1}∈ob(C)によって表現される。
実際、f∈Hom(X, A)とf^{-1}({1})∈P(X)が1対1に対応する。
普遍元は(A, {1})
14: １３２人目の素数さん [] 02/03(月)13:54 ID:j/OJCPUZ(1)
>>9
園児ですか？
15: １３２人目の素数さん [] 02/06(木)00:23 ID:iDX/wkEu(1)
>>4,5
その通り！
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