雑談はここに書け！【６７】 (510ﾚｽ)

雑談はここに書け！【６７】 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736754850/

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482: １３２人目の素数さん [sage] 2025/10/10(金) 04:31:29.06 ID:tI5DsBLW >>479-481 そもそも、無理数度の定義が書かれている本の定義とネットの定義が違っている http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736754850/482

487: １３２人目の素数さん [sage] 2025/10/10(金) 09:13:50.88 ID:tI5DsBLW 仮にネットの定義が正しいとする すると、次のことが定義だという： 任意の2より大きい無理数度μを持つ正の無理数aについて、 |a−p/q|＜1/q^μ が成り立つ有理数 p/q は高々有限個しか存在しない 或る正の無理数aが存在して、或る2より大きい有限な実数μが存在して、 正の無理数aの無理数度が 2＜μ＜+∞ なる無理数度μであるとする 定義から、|a−p/q|＜1/q^μ が成り立つ有理数 p/q は高々有限個しか存在しない 有理直線Qの有限部分集合Aを A＝{ p/q∈Q | |a−p/q|＜1/q^μ } と定義する http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736754850/487

488: １３２人目の素数さん [sage] 2025/10/10(金) 09:14:50.73 ID:tI5DsBLW 任意に p/q∈A を取る aは正の無理数であるから、Aの定義から、|a−p/q|＞0 である また、正の無理数aの無理数度μについて 2＜μ＜+∞ であるから、 |a−p/q|＜1/q^μ を満たす有理数 p/q の分母qについて、 0＜|a−p/q|＜1/q^μ なることに注意すれば、 確かに q≦0 なることはあり得ず q＞1 である 同様に 2＜μ＜+∞ であるから、Aの定義から、|a−p/q|＜1/q^μ なる 正の有理数 p/q q＞1 の分母qについて、1/q^μ＜1/q^2 である よって、|a−p/q|＜1/q^μ なる有理数 p/q q＞1 は |a−p/q|＜1/q^2 を満たす aは正の無理数であるから、|a−p/q|＜1/q^μ なる有理数 p/q q＞1 の分子p が p≦−1 なる整数であることはあり得ず、p≧0 である 有理直線Qの有限部分集合Aに属する有理数 p/q は任意であるから、 |a−p/q|＜1/q^2 なる有理数 p/q p≧0 q≧1 は高々有限個しか存在しない しかし、正の無理数aは一意に正則無限連分数展開されるから、 |a−p'/q'|＜1/(q')^2 なる正の有理数 p'/q' p'＞1 q'＞1 は無限個存在する このことは、|a−p/q|＜1/q^2 なる有理数 p/q p≧0 q≧1 が 高々有限個しか存在しないことが導かれたことに反し矛盾する この矛盾は、或る正の無理数aが存在して、或る2より大きい有限な実数μが存在して、 正の無理数aの無理数度が 2＜μ＜+∞ なる無理数度μであるとする と仮定したことから生じたから、背理法が適用出来る 背理法を適用すれば、どんな正の無理数aに対しても、 どんな2より大きい有限な実数μに対しても、 正の無理数aの無理数度が 2＜μ＜+∞ なる無理数度μであることはあり得ない 故に、任意の正の無理数aの無理数度μは μ＝2 であるかまたは μ＝+∞ である http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736754850/488

492: １３２人目の素数さん [sage] 2025/10/10(金) 12:33:45.28 ID:tI5DsBLW >>489-491 余り訂正する気がなくて、訂正しなかった http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736754850/492

493: １３２人目の素数さん [sage] 2025/10/10(金) 16:17:36.88 ID:tI5DsBLW >>490 私がいっていた無理数度の定義は、無理数と超越数 塩川 宇賢 (著) や 数論　講義と演習 塩川 宇賢 (訳) に書いてある無理数度の定義のことを指している http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736754850/493

494: １３２人目の素数さん [sage] 2025/10/10(金) 16:19:38.32 ID:tI5DsBLW 正の無理数aを任意に取る。正の無理数aに対して定義される 無理数度 μ(a) が 2＜μ(a)≦+∞ を満たすとする 無理数度の定義から、|a−p/q|＜1/q^{μ(a)} が成り立つ 有理数 p/q は高々有限個しか存在しない 実数直線Rの部分集合Gを G＝{ μ∈R | |a−p/q|＜1/q^μ が成り立つ有理数 p/q は高々有限個しか存在しない } と定義する 任意の μ∈G なる実数μに対して、有理直線Qの有限部分集合 A(μ) を A(μ)＝{ p/q∈Q | |a−p/q|＜1/q^μ } と定義する μ∈G なる実数μを任意に取る p/q∈A(μ) なる有理数 p/q を任意に取る http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736754850/494

495: １３２人目の素数さん [sage] 2025/10/10(金) 16:21:07.16 ID:tI5DsBLW (続き) aは正の無理数であって、aと1は有理数体Q上一次独立であるから、 A(μ) の定義から、|a−p/q|＞0 である また、正の無理数aの無理数度 μ(a) の定義に着目すれば、2＜μ≦+∞ である よって、|a−p/q|＜1/q^μ を満たす有理数 p/q の分母qについて、 0＜|a−p/q|＜1/q^μ なることに注意すれば、 確かに q≦0 なることはあり得ず q≧1 である 同様に 2＜μ≦+∞ であるから、A(μ) の定義から、|a−p/q|＜1/q^μ なる 正の有理数 p/q q≧1 の分母qについて、1/q^μ≦1/q^2 である 故に、|a−p/q|＜1/q^μ なる有理数 p/q q≧1 は |a−p/q|＜1/q^2 を満たす aは正の無理数であるから、|a−p/q|＜1/q^μ なる有理数 p/q q≧1 の分子p が p≦−1 なる整数であることはあり得ず、p≧0 である 有理直線Qの有限部分集合 A(μ) に属する有理数 p/q は任意であるから、 |a−p/q|＜1/q^2 なる有理数 p/q p≧0 q≧1 は高々有限個しか存在しない しかし、正の無理数aは一意に正則無限連分数展開されるから、 |a−p'/q'|＜1/(q')^2 なる正の有理数 p'/q' p'＞1 q'＞1 は無限個存在する 正の無理数aの無理数度 μ(a) が 2＜μ(a)≦+∞ を満たすこと、 及び有理直線Qは可算無限集合なることに注意すれば、 |a−p/q|＜1/q^μ が成り立つ有理数 p/q が 非可算個存在することはあり得ず、高々可算個存在する μ∈G なる実数μは任意であるから、実数直線Rの部分集合Gは可算無限集合である Gは正の無理数aを任意に取ったとき、正の無理数aの 2＜μ(a)≦+∞ なる 無理数度 μ(a) に対して定義される実数直線Rの可算無限部分集合であった http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736754850/495

496: １３２人目の素数さん [sage] 2025/10/10(金) 16:24:55.33 ID:tI5DsBLW (続き) 以上の考察から、任意に正の無理数aを任意に取った 正の無理数aの無理数度 μ(a) が 2＜μ(a)≦+∞ であるときは、 正の無理数aの無理数度 μ(a) を次のように定義することが出来る： 任意に正の無理数aを取ったとき、正の無理数aに対して定義される 2＜μ(a)≦+∞ なる実数 μ(a) が無理数aの無理数度であるとは、 任意の正の実数εに対して、|a−p/q|＜1/q^{μ(a)＋ε} を満たす 有理数 p/q p＞1 q＞1 が存在することである http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736754850/496

497: １３２人目の素数さん [sage] 2025/10/10(金) 17:22:15.94 ID:tI5DsBLW >>495の下から3行目と4行目の間に，次の文を挿入： p/q∈A(μ) なる有理数 p/q は任意であるから、A(μ) は可算集合である http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736754850/497

498: １３２人目の素数さん [sage] 2025/10/10(金) 17:22:16.65 ID:tI5DsBLW >>495の下から3行目と4行目の間に，次の文を挿入： p/q∈A(μ) なる有理数 p/q は任意であるから、A(μ) は可算集合である http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736754850/498

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