雑談はここに書け！【６７】

雑談はここに書け！【６７】 (461ﾚｽ)
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320: １３２人目の素数さん [] 2025/09/19(金) 07:02:08.24 ID:D62WXik0

>>298
>何故ポール・エルデシュは収束する級数
>Σ _{k＝0,1,…,+∞}(1/(k!＋1))
>が無理数なることを示せなかったのか不思議だ

いまどきの検索 の「AI による概要」 どうなんでしょうねｗ　；ｐ）

google検索：収束する級数 Σ _{k＝0,1,…,+∞}(1/(k!＋1)) が無理数 の証明
AI による概要（AI の回答には間違いが含まれている場合があります ）
級数 Σ (1/(k!+1)) が無理数であることの証明は、直接的な証明が困難であり、一般には超越数論や特定の条件を満たす級数（例: eの級数）の無理数性に関する理論が用いられます。与えられた級数はeの級数Σ(1/k!)に類似していますが、+1があるため性質が異なり、証明にはより高度な数学的知識が必要です。
証明の概略と難しさ
無理数性の定義:ある数が無理数であるとは、p/q の形で表せない実数のことを指します。
級数の無理数性の証明方法:
背理法:仮に級数の和が有理数であると仮定し、矛盾を導く方法です。
数論的アプローチ:級数の各項の性質と級数全体の性質を結びつけ、直接無理数であることを示す方法です。
与えられた級数の特殊性:
級数 Σ (1/(k!+1)) は、ネイピア数 e の級数 Σ (1/k!) の変形ですが、+1の項があるため、e とは異なる性質を持ちます。
e の級数は無理数であることが証明されていますが、その証明は数論的に高度であり、直接的に適用できるものではありません。
証明のポイント
級数 Σ (1/(k!+1)) の和をSとおきます。
S が有理数であると仮定し、背理法で矛盾を導くことを目指します。
分母がk!を含むため、この級数の和がある種の「無限の小数表現」と見なせます。
この無限の小数表現が、有理数の「循環する」性質とは異なることを示す必要があります。
結論
級数 Σ (1/(k!+1)) の無理数性の証明は、超越数論の範疇に入るため、高校数学の範囲を超える高度な知識が必要です。この級数の和が無理数であることの証明は、具体的な証明が存在するものの、ここに記述するレベルの単純なものではありません。
[補足]
級数Σ(1/(k!+1)) の具体的な証明には、カントールの定理やリンデマン-ワイエルシュトラスの定理など、さらに高度な定理を援用する必要があります。
上記の「eの級数の無理数性の証明」を参照して、基本的な証明手法を学ぶことも有用です。
これらの説明は、数学的に正確に記述する必要があるため、より詳細な証明については専門の書籍や論文でご確認ください。
AI モードでさらに詳しく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736754850/320

321: １３２人目の素数さん [] 2025/09/19(金) 07:36:17.92 ID:D62WXik0

>>320 追加
>何故ポール・エルデシュは収束する級数
>Σ _{k＝0,1,…,+∞}(1/(k!＋1))
>が無理数なることを示せなかったのか不思議だ

英語で検索（英語の数学情報は 日本語の100倍らしい　；ｐ）

英語google検索：series Σ _{k＝0,1,…,+∞}(1/(k!＋1)) irrational number proof
AI による概要（AI responses may include mistakes. Answers might be inaccurate or misleading. Double-check for accuracy. ）

Proof of Irrationality for Σ _{k＝0,1,…,+∞}(1/(k!＋1))
The irrationality of the series Σ _{k＝0,1,…,+∞}(1/(k!＋1))
can be demonstrated by comparing it to a known irrational number or by using a proof by contradiction. A common approach involves relating it to the irrationality of e.

Steps for Proof 
Consider the series for e: The number e is known to be irrational and is defined by the series Σ{k=0}^{∞} 1/k!.
Compare the given series to the series for e .
The given series is Σ _{k＝0,1,…,+∞}(1/(k!＋1)).
For k ≧ 1,
it is observed that k!+1>k!, which implies 1/(k!+1) < 1/k!.
Analyze the terms for small k:
For k=0, the term in the given series is 1/(0!+1)=1/(1+1)=1/2.
For k=0, the term in the series for e is 1/0!=1/1=1.
Relate the sums: Let S=Σ _{k＝0,1,…,+∞}(1/(k!＋1)).
The series for e can be written as e=1+Σ{k=1}^{∞} 1/k!.
The given series can be
written as S=1/2+Σ _{k＝1,…,+∞}(1/(k!＋1)).

Consider a proof by contradiction (if necessary):
If it were assumed that S is rational, then S=p/q for some integers p and q with q ≠ 0.
This assumption would then be used to derive a contradiction, often by showing that a related number, such as e, would also have to be rational, which is known to be false.

Utilize known results on irrationality:
The irrationality of e is a well-established result.

Final Answer 
The series Σ _{k＝0,1,…,+∞}(1/(k!＋1)) is an irrational number.
This can be demonstrated by methods similar to those used to prove the irrationality of e, involving a proof by contradiction that shows assuming rationality leads to a contradiction with properties of integers or known irrational numbers.■

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736754850/321

322: １３２人目の素数さん [] 2025/09/19(金) 07:50:02.46 ID:D62WXik0

>>321

ああ ”AI モードでさらに詳しく”とありますね　；ｐ）
いま やってみると 回答が少し詳しいみたいです（略す）

このAI解答で、e ＝Σ{k=0}^{∞} 1/k! を使うのは 良いかも（正しいかどうかは 未確認）
どこかに 種本ありそうですね
種本なしでのAI解答なら こわいですｗ ；ｐ）

超越性？
種本を見つけるか （そういう検索か質問をする）
”超越性”を キーワードに入れるかでしょう　；ｐ）

(参考)
（小学生）
『ＡＩあるのになんで勉強するの？　教育現場で子供たちからよく発せられる問いだという
　昭和のダジャレ英語集に、答えのようなものがあったのを思い出した。趣味＝ｈｏｂｂｙのように楽しく学習すると、ごホビーがあるよ。ちょっと、くるしいか。』
https://www.yomiuri.co.jp/note/hensyu-techo/20250919-OYT8T50000/
９月１９日　編集手帳
2025/09/19 読売新聞
　図書館＝ｌｉｂｒａｒｙは「来、ぶらり」。ダジャレで英単語を覚えようという試みは昔からあるようだ。古書店で手にとった昭和半ばの本にいろいろと紹介されていた
◆国会＝ｄｉｅｔは、ダイイットウが威張る。弁護士＝ｌａｗｙｅｒがいいのでロウヤから出られた。現実＝ｒｅａｌの言葉にはやはり、いちリアル。肝心の英語よりダジャレを覚えることのほうがたいへんそうである
◆この涙ぐましい努力は、ＡＩ（人工知能）を使いこなす世代には理解を超えるだろう。翻訳ソフトを使えば、そこそこの長文もすぐに英文に変えられる
◆小学校で英語が必修化されて５年の時を経た。＜聞く、話す、読む、書く＞。これらを体系的に学ぶとして始まった学習の成果はどうなのだろう。翻訳はもちろん、通訳ソフトもますます手軽に利用できるようになった。ＡＩあるのになんで勉強するの？　教育現場で子供たちからよく発せられる問いだという
◆昭和のダジャレ英語集に、答えのようなものがあったのを思い出した。趣味＝ｈｏｂｂｙのように楽しく学習すると、ごホビーがあるよ。ちょっと、くるしいか。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736754850/322

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