雑談はここに書け！【６７】 (459ﾚｽ)

雑談はここに書け！【６７】 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736754850/

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444: １３２人目の素数さん [sage] 2025/10/02(木) 00:56:12.14 ID:07eKl1iA >>422の前半に書いたことを、命題の形で書くと 次のようになる。「良い近似分数列」とは、正確には この命題の条件をみたす分数列 q_iのことである。 命題 有理数の無限列 q_i(i=1,2,...)がある値αに収束し かつ、その値はq_iとは交わらない、すなわち αはq_iのどの元とも異なるとする。 有理数qを既約分数で書いたときの正の分母をd(q)とおいたとき 条件: lim_{i→∞} d(q_i)|α-q_i|=0 が成立するなら αは無理数である。 （証明）仮にαが有理数だとすると |α-q_i|≧1/(d(α)d(q_i))、したがって d(q_i)|α-q_i|≧1/d(α) となり 左辺がi→∞において0になるという条件に反する。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736754850/444

445: １３２人目の素数さん [sage] 2025/10/02(木) 01:11:47.60 ID:07eKl1iA 命題の適用例． α=Σ_{k=0}^{∞}1/k! は無理数である。 （証明） 部分和 Σ_{k=0}^{i}1/k!をq_iとおくと d(q_i)≦i!であり d(q_i)|α-q_i|≦i!×Σ_{k=i+1}^{∞}1/k!=1/(i+1)+1/((i+1)(i+2))+… ≦Σ_{r=1}^{∞}1/(i+1)^r 最右辺は i→∞において0であるから、最左辺もまたそうである。 したがって命題の条件が成立して、αは無理数である。 （注）αを元の級数の任意の可算無限個の項に渡る部分和に置き換えても、同様の証明が成立する。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736754850/445

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