雑談はここに書け！【６７】 (459ﾚｽ)
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444: １３２人目の素数さん [sage] 10/02(木)00:56 ID:07eKl1iA(1/2)
>>422の前半に書いたことを、命題の形で書くと
次のようになる。「良い近似分数列」とは、正確には
この命題の条件をみたす分数列 q_iのことである。

命題
有理数の無限列 q_i(i=1,2,...)がある値αに収束し
かつ、その値はq_iとは交わらない、すなわち
αはq_iのどの元とも異なるとする。
有理数qを既約分数で書いたときの正の分母をd(q)とおいたとき
条件: lim_{i→∞} d(q_i)|α-q_i|=0 が成立するなら
αは無理数である。

（証明）仮にαが有理数だとすると
|α-q_i|≧1/(d(α)d(q_i))、したがって
d(q_i)|α-q_i|≧1/d(α) となり
左辺がi→∞において0になるという条件に反する。

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445: １３２人目の素数さん [sage] 10/02(木)01:11 ID:07eKl1iA(2/2)
命題の適用例．
α=Σ_{k=0}^{∞}1/k! は無理数である。

（証明）
部分和 Σ_{k=0}^{i}1/k!をq_iとおくと
d(q_i)≦i!であり
d(q_i)|α-q_i|≦i!×Σ_{k=i+1}^{∞}1/k!=1/(i+1)+1/((i+1)(i+2))+…
≦Σ_{r=1}^{∞}1/(i+1)^r
最右辺は i→∞において0であるから、最左辺もまたそうである。
したがって命題の条件が成立して、αは無理数である。

（注）αを元の級数の任意の可算無限個の項に渡る部分和に置き換えても、同様の証明が成立する。

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