雑談はここに書け！【６７】 (460ﾚｽ)
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11: １３２人目の素数さん [sage] 01/14(火)10:23:14.60 ID:wAGmgpG8(2/5)
一時間に別スレに50レス、一日4時間で200レスは珍しい、猫、貉以外では。ユニーク
199: １３２人目の素数さん [] 07/24(木)22:29:40.60 ID:0RoOymeC(2/2)
Cartanが来たのは岡潔がいたから
211: １３２人目の素数さん [] 07/26(土)19:17:32.60 ID:C6blmrhS(1)
日本にも一人くらいいてもよい
226: １３２人目の素数さん [sage] 08/06(水)12:47:46.60 ID:dsDNz4pg(1/3)
パヨクになるかもしれない
264: １３２人目の素数さん [] 08/21(木)21:50:21.60 ID:MhIL4Clq(1)
京競馬とは別に
戸田格子は不滅だろう
267: １３２人目の素数さん [] 08/25(月)14:07:46.60 ID:B3v2ZpMv(1)
まだ科研費はとりやすいだろう
310(1): １３２人目の素数さん [sage] 09/17(水)10:55:10.60 ID:p3xZkeay(2/8)
>>299
>>310のAの評価の途中の4行目で「Σ」が消えてた
Σ _{k＝0,1,…,+∞}(1/(k!＋1)) が有理数であると仮定する
Σ _{k＝0,1,…,+∞}(1/(k!＋1))
＝1＋? _{k＝2,3,…,+∞}(1/(k!＋1))
＝1＋Σ _{k＝2,3,…,+∞}(1/k!)
＜1＋1＝2
であって、Σ _{k＝0,1,…,+∞}(1/(k!＋1))＞1 であるから、
仮定から、或る互いに素な2つの正の整数p,qが存在してpは p≧2 を満たし
Σ _{k＝0,1,…,+∞}(1/(k!＋1))＝q/p である
よって、(p!＋1)!Σ _{k＝0,1,…,+∞}(1/(k!＋1)) は正の整数である
同様に、(p!＋1)!Σ _{k＝0,1,…,p}(1/(k!＋1)) は正の整数である。故に、
A＝(p!＋1)!Σ _{k＝0,1,…,+∞}(1/(k!＋1))−(p!＋1)!Σ _{k＝0,1,…,p}(1/(k!＋1))
とおけば、Aは正の整数である。しかし、任意の n≧2 なる整数nに対して
n!＋1＜(n＋1)! であることに注意して、Aを上から評価すれば
A＝(p!＋1)!Σ _{k＝p+1,p+2,…,+∞}(1/(k!＋1))
＝p!×(p!＋1)Σ _{k＝p+1,p+2,…,+∞}(1/(k!＋1))
＜p!Σ _{k＝p,p+1,…,+∞}(1/(k!＋1))
＝p!Σ _{k＝0,1,…,+∞}(1/((k＋p)!＋1))
＜(p!)/(p!＋1)＋Σ _{k＝1,2,…,+∞}(1/((k＋p)!＋1))
＜(p!)/(p!＋1)＋Σ _{k＝1,2,…,+∞}(1/((p＋1)!＋1)^k)
＝(p!)/(p!＋1)＋1/((p＋1)!＋1)×1/(1−(1/((p＋1)!＋1)))
＝(p!)/(p!＋1)＋1/(p＋1)!
＜(p!)/(p!＋1)＋1/(p!＋1)＝1
である。よって、Aは正の整数ではない
これはAが正の整数であることに反し、矛盾が生じる
故に、背理法により、Σ _{k＝0,1,…,+∞}(1/(k!＋1)) は無理数である
313: １３２人目の素数さん [sage] 09/17(水)12:58:57.60 ID:p3xZkeay(5/8)
>>299
正の整数pについて p≧3 を得たから、任意の n≧3 なる整数nに対して
n!＋1＜2(n!)＜(n＋1)! であることに注意して、
Aを上から評価すればよくて
>>312の途中のようにAを上から評価すれば
A＜…＜(p!)/(p!＋1)＋(p!)/(p＋1)!＝(2(p!))/(p＋1)!＜1
が得られて、矛盾が生じる
特にAを下から評価しなくても済む
367: １３２人目の素数さん [sage] 09/21(日)11:22:38.60 ID:7QDwnbmv(1)
背景の理論に詳しい17歳が構成した反例のようだから
誰が説明しても分かる高校生は全体のごく少数で
殆どの高校生には分からないであろう
という予想は付く
445: １３２人目の素数さん [sage] 10/02(木)01:11:47.60 ID:07eKl1iA(2/2)
命題の適用例．
α=Σ_{k=0}^{∞}1/k! は無理数である。
（証明）
部分和 Σ_{k=0}^{i}1/k!をq_iとおくと
d(q_i)≦i!であり
d(q_i)|α-q_i|≦i!×Σ_{k=i+1}^{∞}1/k!=1/(i+1)+1/((i+1)(i+2))+…
≦Σ_{r=1}^{∞}1/(i+1)^r
最右辺は i→∞において0であるから、最左辺もまたそうである。
したがって命題の条件が成立して、αは無理数である。
（注）αを元の級数の任意の可算無限個の項に渡る部分和に置き換えても、同様の証明が成立する。
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