雑談はここに書け！【６７】

雑談はここに書け！【６７】 (461ﾚｽ)
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320: １３２人目の素数さん [] 2025/09/19(金) 07:02:08.24 ID:D62WXik0

>>298
>何故ポール・エルデシュは収束する級数
>Σ _{k＝0,1,…,+∞}(1/(k!＋1))
>が無理数なることを示せなかったのか不思議だ

いまどきの検索 の「AI による概要」 どうなんでしょうねｗ　；ｐ）

google検索：収束する級数 Σ _{k＝0,1,…,+∞}(1/(k!＋1)) が無理数 の証明
AI による概要（AI の回答には間違いが含まれている場合があります ）
級数 Σ (1/(k!+1)) が無理数であることの証明は、直接的な証明が困難であり、一般には超越数論や特定の条件を満たす級数（例: eの級数）の無理数性に関する理論が用いられます。与えられた級数はeの級数Σ(1/k!)に類似していますが、+1があるため性質が異なり、証明にはより高度な数学的知識が必要です。
証明の概略と難しさ
無理数性の定義:ある数が無理数であるとは、p/q の形で表せない実数のことを指します。
級数の無理数性の証明方法:
背理法:仮に級数の和が有理数であると仮定し、矛盾を導く方法です。
数論的アプローチ:級数の各項の性質と級数全体の性質を結びつけ、直接無理数であることを示す方法です。
与えられた級数の特殊性:
級数 Σ (1/(k!+1)) は、ネイピア数 e の級数 Σ (1/k!) の変形ですが、+1の項があるため、e とは異なる性質を持ちます。
e の級数は無理数であることが証明されていますが、その証明は数論的に高度であり、直接的に適用できるものではありません。
証明のポイント
級数 Σ (1/(k!+1)) の和をSとおきます。
S が有理数であると仮定し、背理法で矛盾を導くことを目指します。
分母がk!を含むため、この級数の和がある種の「無限の小数表現」と見なせます。
この無限の小数表現が、有理数の「循環する」性質とは異なることを示す必要があります。
結論
級数 Σ (1/(k!+1)) の無理数性の証明は、超越数論の範疇に入るため、高校数学の範囲を超える高度な知識が必要です。この級数の和が無理数であることの証明は、具体的な証明が存在するものの、ここに記述するレベルの単純なものではありません。
[補足]
級数Σ(1/(k!+1)) の具体的な証明には、カントールの定理やリンデマン-ワイエルシュトラスの定理など、さらに高度な定理を援用する必要があります。
上記の「eの級数の無理数性の証明」を参照して、基本的な証明手法を学ぶことも有用です。
これらの説明は、数学的に正確に記述する必要があるため、より詳細な証明については専門の書籍や論文でご確認ください。
AI モードでさらに詳しく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736754850/320

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